CHAPITRE XXXII

PRLN CIPALES LNÉGALITÉS. TABLES DE LA LUNE.

Ëvection.

Les anciens ont connu les singulières variations que nous venons d'indiquer. Bouillaud leur a donné le nom di élection y pourexprimcr qu'elles faisaient sortir la Lune de la position que lui assignaient !« lois du mouvement excentrique. Pour Ptoléraée, la longitude avait pour expression

long. nioy. -h équation du centre -+- éverlion, ou bien, avec nos notations,

long. moy. H- 5°i'sin(C — w) -h2<»32'sin((C — 0)cos(ot — 0). A ujourd'hui on écrirait (Tables de Damoiseau, p. 3i5)

long. mo}. H-G''i7'sin((C — nj)-i- l'^iG' sin [2(C — Q) — (C — n].

i'ormule qui donnerait le même résultat que les prescriptions de ^e^vton (p. 3o()). Il est bien aisé de s'assurer, en développant \t second sinus, qu'elle est identique à celle de Ptolémée. 1^ constante f)''!' que ce grand astronome assignait à réquation du cenirr répond effectivement à la somme de nos deux termes aux s\i\' gies observées à 90^ du périgée ou de Tapogée. Ptolémée ra\aii calculée par trois éclipses de Lune observées, à Bab\lone. 700 ans avant J.-C. et par trois autres éclipses observées par luimême à Alexandrie. Delambre ayant voulu vérifier ce calcul |»ar les formules modernes a retrouvé le même nombre à i' pK'S (' •

(• ) On ne saurait assez admirer rcflbrl de génie qui a conduit IHoIcmcf * \*

PHINCIPALES INÉGALITÉS. TABLES DE LA LUNE. 3ll

Variation, équation annuelle.

Nous ne ferons que mentionner Ja variation, inégalité qui mérite bien son nom, car elle change tous les trois ou quatre jours. Nulle dans les syzygies, c'est-à-dire quand la Lune est en conjonction ou en opposition, elle est nulle encore dans les quadratures et atteint ses maxima dans les octants. Ainsi sa période est la moitié de la révolution synodique de la Lune, et cette inégalité a pour expression

39'sin2(C — O).

EUle a été découverte en 1600 par Tycho-Brahé, mais il parait que les astronomes arabes l'avaient déjà notée.

\^ équation annuelle^ découverte aussi par Tycho-Brahé, offre plus d'intérêt. La distance de la Terre au Soleil est variable; la force perturbatrice du Soleil est au maximum lorsque la Terre est à son périhélie, au minimum lorsqu'elle est aphélie. Cette force ayant poureffet général d'écarter un peu la Lune de la Terre et d'augmenter le grand axe de son orbite, la durée de la révolution doit varier, conformément à la troisième loi de Kepler, dans l'intervalle d'un an et repasser l'année suivante par les mêmes valeurs. Nous y reviendrons un peu plus loin, à l'occasion de l'accélération séculaire du moyen mouvement de la Lune. L'argument de cette inégalité est évidemment l'anomalie du Soleil; sa formule est

1 i'sin(0 — ^)'

Équation séculaire du moyen mouvement.

Enfin, pour terminer le chapitre des inégalités dont la découverte est due à l'observation, indépendamment de la théorie, men-

découverte de cette loi compliquée. Ptolémée est môme parvenu à la concilier avec la règle de n'admettre pour les astres que des mouvements circulaires et uniformes, en faisant marcher la Lune sur un épicycle dont le centre se mouvait sur l'excentrique pris pour cercle déférent. A la vérité, si les anciens avaient fait un peu attention aux diamètres apparents de la Lune, ils auraient vu que cette hypothèse, qui exige une variation dans ces diamètres du simple au double, est inadmissible.

3l2 LIVRE VI. — CHAPITRE XXXII.

tionnons Taccélération séculaire du moyen mouvement de la LonCf que Halley a découverte en comparant les observations de son temps avec des éclipses très anciennement observées par les Arabes et les Grecs. Supposons que les anciennes éclipses nous conduisent à assigner à la Lune, il y ajuste 2000 ans, une longitude moyenne A (longitude dépouillée de ses inégalités), mille ans plus tard, une longitude B, et aujourd'hui une longitude G. Pour en tirer le moyen mouvement annuel, on aura les équations

^o=A, ^-f-iooo/i = B, ^0-4- 2000/1 = G.

Halley remarqua que ces équations ne sont pas compatibles, que

donne pour n une valeur plus faible que En introdm-

1000 * ri 1000

sant un terme séculaire mt-, les équations deviennent

4^= A, ^o-f* looo/i-h ioooooo/w=B, ^0-+-2ooo/i-t-4oooooom=iC;

on en tire

G'est l'accélération annuelle de la Lune. Elle se réduit à — Vr *

chaque révolution mensuelle. Gette infinitésimale accélération n'en produit pas moins o",ooi x 10000 = 10" par siècle, 40*^ au bout de deux siècles, 90" au bout de trois, et 4000" ou plus dei°en ^îoooanç. Or, quand il s'agit d'éclîpscs observées, même dans les temps le* plus reculés, il est impossible de s'y méprendre, car quelque* minutes de plus ou de moins sur la longitude de la Lune rendraient réclipse totale possible ou impossible dans les régions où les historiens en font montion (p. 33 1). On ne saurait donc méconnaître la rc'alité de cette accélération séculaire.

Laplace a\ant établi, comme une conséquence inévitable de la loi d'attraction, l'invariabilité des grands axes et des moyens mouvements dans tout le système solaire, du moins lorsqu'on ne tient compte que des attractions mutuelles des corps qui^ le composent, il semblait qu'il fallut conclure ici à l'intervention de forces élranj;ères au système, telle que la présence d'un milieu très rare dont la résistance, en diminuant la vitesse linéaire, rapprocherait la Lune *lr la Terre et produirait l'accélération du moven mouvement.

PRINCIPALES INÉGALITÉS. TABLES DE LA LUNE. 3l3

Mais ce milieu ne saurait agir sur la Lune sans faire sentir aussi son action sur les planètes et leurs satellites. Or on ne trouve nulle autre part trace de la moindre accélération. Le problème devait donc recevoir une autre solution. Laplace remarqua que la variation produit précisément une variation dans la durée de la révolution, périodique à la vérité, due à ce que la force perturbatrice du Soleil varie avec sa distance à la Terre, c'est-à-dire du périhélie à Taphélie. Si donc cette distance augmentait peu à peu, la Lune, de moins en moins écartée delaTerreparTactiondu Soleil, se rapprocherait insensiblement de notre globe, et la révolution mensuelle irait en s'accélérant. La distance moyenne a' de la Terre au Soleil est invariable, mais Texcentricité e' de son orbite subit une diminution séculaire. Or Laplace a découvert, dans l'expression théorique de la longitude moyenne de la Lune, un terme séculaire qui dépend précisément de cet élément, à savoir

La théorie du Soleil donne (p. iZi)

e'=: e\ — 0,00000042/1 ty tétant exprimé en années. Par conséquent,

e'^ — e^ nz — 0,0000008/48 e^ t.

En intégrant, on trouve qu'il faut ajoutera la longitude moyenne de la Lune

|x' X 0,000000848 eQfit^y avec n =: — cl c^ — 0,0168,

ou, en prenant le siècle pour unité, H- io'',3/î^-. C'est justement le résultat des observations.

Cependant il est arrivé ici, comme pour la progression du périgée, que le coefficient ^ x- n'est que le premier terme d'une série fort peu convergente dont la suite réduit beaucoup l'importance du premier. La série complétée parM. Adams ne donne plus que 5'', 7 pour l'accélération séculaire de la Lune. L'excès ^",6 de l'effet observé sur reflet calculé n'a été rattaché par personne à la résistance d'un

3l4 LIVRE VI. — CHAPITRE XXXII.

milieu, car on n'en retrouve nulle part ailleurs la moindre tracc{'), mais à un ralentissement excessivement faible de la rotation terrestre, que M. Delaunay attribue aux marées.

Tables de la Lune exclusivement basées sur la théorie

de rattraction.

Telles sont les inégalités que les astronomes avaient démêlées dans une longue série d'obser>'ations de la Lune. Lorsque Newton eut réussi à les rattacher à sa théorie, il pensa que cette théorie, plus développée, fournirait bien d'autres inégalités qui avaient échappé aux observateurs. Laplace réalisa complètement cel aperçu en donnant l'expression analytique de toutes les inégalités sensibles, en fonction des éléments des orbites de la Lune cl du Soleil. Ces éléments sont, comme on l'a vu, pour la théorie, des constantes arbitraires qu'on ne saurait déterminer autrement que par l'observation; mais, une fois ces valeurs obtenues, celles de toutes les inégalités de la Lune en résultent sans qu'il soit nécessaire de recourir aux observations. Avant Laplace, les Tables de la Lune étaient entachées d'empirisme, en ce sons qu'on déterminait, par les observations, les coefficients des inégalités sans se soucier de les mettre d'accord avec la théorie. M. Damoiseau, de l'Académie des Sciences, est le premier et jusqu'ici le seul qui ait produit des Tables exclusivement basées sur la théorie. Le succè'i le plus complet a couronné ce grand effort; voici un bref aperçu de ses Tables.

Origine du temps, \" janvier 1801 à minuit, temps moyen de Paris.

Longitude moyenne iii.36.4^jB -4-(3o7".52'.4i'j6)i

Anomalie moyenne 205.29.58,4 ( mombre da »ièci« drpiu i««

Longitude moyenne du nœud 1 3. 54. 54, 2

Inclinaison 5. 8.59,8

Excentricité en secv>ndes.. . . G. 17. 19,7

(') Pour bien faire saisir la portée de cette remarque, il faut insister sur ce que cette accélération du mouvement moyen de la Lune est accompagnée d'ane inégalité séculaire dans ceux du périhélie et des nœuds dont Laplace a rendu romplf en les rattachant à la même cause, la diminution séculaire de rcxccnlricile de l'orbite terrestre. Si l'on essayait d'attribuer la première à toute autre cause, telle que la résistance de l'éthcr ou la propagation successive de la gravite, il serait impossible d'étendre cette explication aux variations des deux autres clèinest^. car il ne ft'co produirait aucune dans l'uDC ou l'autre de ces hypothèses.

PRINCIPALES INÉGALITÉS. TABLES DE LA LUNE. 3l'J

Telles sont les valeurs des éléments fournies par l'observation. La théorie donne :

Equation séculaire delà longitude moyenne.. 10,87861* -4-0, 01 6e'

Equation de l'anomalie moyenne SojoSgai* -f-o,073ï'

Equation du nœud 6,6690** ^-0,0101*

Mouvement séculaire de l'anomalie moyenne 198*. 49'. 55*, o Mouvement séculaire du nœud 1 34 . 9 . 57 , 5

Avec ces données, on est en état de calculer, pour une date quelconque 1801 + ^, la longitude moyenne «, l'anomalie moyennes, la longitude moyenne C — longitude moyenne Q = x, l'anomalie moyenne Q = z^ enfin j^ = j: — longitude moyenne du nœud ascendant. On a, pour la longitude vraie (sans passer par celle de Torbite et la réduction à l'écliptique) (') :

Equation du centre. ... w -4- 6. 17. 19,7 sin x -+- 12.48,8 sin a a: -h. . .

Evection H- 1 .i6.28,2sin (2*: — a?)-t- 3i*,o sin2(2T — x)

Equation parallactiquc. — 2. 2,1 sin t

Variation -H 39.29,7 sin 2 t. . .

Equation annuelle — ii.i3,o sin ^ -h. . .

— 6.5i ,8 sin 2X

H- 17,5 sin (a: — t) — 3'. 3 1', 9 sin 2(0: — t)

•+- 3.26,7 sin (27 — z — x)

1,1 sin ( 5 — ô ) 0,7 sin( 5 — V)

La parallaxe dont la constante elle-même a été déterminée par la théorie a pour valeur

Constante 57. 0,9

Équation du centre -+- 3. 6,5 cosa: -1- io',2 cos 2ar -f- o',6 cos3a:

— I ,0 COST -î- 28,5 COS2T

— 0,3 COSZ

H- I,4COS(2T — Z — JT),

(*) La somme totale des quatre-vingts inégalités prises avec le signe + est de 8«57'29',8.

3l6 LIVRE VI. — CHAPITRE XXXII.

La latitude go** — ^ a pour expression, en notant d'un accent les symboles précédents, pour avertir qu'il faut leur ajouter la somme des équations de longitude, c'est-à-dire que ce sont des longitudes ou des anomalies vraies :

5**. 8. 59,8 sin y -h 12', 6 sin iy -4- 8.|7,8sin(9. t'— /) -h 14, 4 sin (/ — y)

-4- !25,8 sin (2j:' — f)

-4- i5,6sin (a:' H-y — a-:')

-f- 1,0 sin (2t' h- y) -t- o',8 sin (3y — a-r')— o'',7 sin {y' — t').

M. Delaunay, poussant encore plus loin le développement analytique des inégalités lunaires, en a calculé i4oo. Le Bureau des Longitudes fait en ce moment construire de nouvelles Tables delà Lune d'après cette théorie, la plus complète qui existe. Elles remplaceront les Tables de Hanscn, qui ne sont pas exemptes d'empirisme et qui commencent déjà à ne plus représenter sufBsamment les observations.

Parallaxe du Soleil et aplatissement du globe terrestre déduits

des inégalités lunaires.

Il s'agit de celles dont les coefficients dépendent de la parallaxe du Soleil et do raplatisscment du globe terrestre. En ce qui concerne la première, nous venons de voir que la théorie en fait connaître le coefficient algébrique et l'argument. Avec Fargument t = (^ — Q? ^"^ choisit les observations où sinT prend les valeurs voisines des maxima 4-1 et — 1, c'est-à-dire les syzvgies, et les époques où il s'annule, c'est-à-dire les quadratures. De là on conclut la valeur numérique du coefficient. C'est en comparant ce nombre à son expression théorique que nous avons obtenu 8', 81 pour la parallaxe du Soleil (p. 219).

L'inégalité due à Taplalisscment a pour expression, d'après la Mécanique céleste,

— ( l^ — lf/) ' • f ' . ^ ^-^— sur- smtocosw sm (^.

Les observations de Groenwich assignent 8"', 09 à ce coefficient,

PRINCIPALES INÉGALITÉS. TABLES DE LA LUNE. Si;

dans lequel [jl désigne Taplatissement, q le rapport de la force centrifuge à la pesanteur (à Téquateur) et ^ — i le rapport du moyen mouvement du nœud au moyen mouvement de la Lune. Voici le calcul :

ir'rir 57' 2"',66 logsinÎTi' 6,43984

w = 23°28' log(^ — i)... 7,60411

en 1801. 8,83573

log sin b) cos o) . 9 , 562G3

8,39836 log2o6265' 5,3i4{3

3,71279 log8',59 0,93399

Iog([X — \ q), 7,22120

fA 0 ,0033980 = ï^T

Nous trouvons, par cette singulière voie, un aplatissement très voisin de j^ auquel nous conduisent aujourd'hui les opérations géodésiqueset les observations du pendule. En se reportant à ce qui a étédit(p. 219) sur l'inégalité parallactique, on trouvera bienjustifiée cette remarque de Laplace : «Un astronome, sans sortir de son observatoire, en comparant ses observations de la Lune à la théorie, est donc en état de déterminer à lui seul la distance de la Terre au Soleil et la figure de notre globe, résultats qu'on ne croyait pouvoir atteindre que par de vastes triangulations et par des expéditions organisées à grands frais sur les deux hémisphères. »

Calcul de Tinégalité mensuelle de la Terre.

Le petit système Lune-Terre se meut autour du Soleil comme si sa masse entière était réunie en son centre de gravité. Les deux astres décrivent autour de ce point des ellipses semblables, mais de dimensions inversement proportionnelles à leurs masses. Pour le faire comprendre, considérons, à un instant donné, les trois corps T, L, S avec leurs masses /w, /n', M. Désignons par r, R, z-' les distances ST, SG, SL, par a, ci les distances GTct GL au centre

3l8 LIVRE VI. — CHAPITRE XXXII.

de gravité G, par o l'angle aigu en G, par a, a les angles en S. La force qui meut la Terre vers le Soleil sera*^' ^ ; celle qui

Fig. 6i.

meut la Lune sera*^ \,^ » En les multipliant par ces a et ces T'y on

aura leurs composantes parallèlement à SG. Les triangles donnent, en prenant R pour unité,