CHAPITRE XXXVII

Ils se réduisent à ces termes : déterminer, à un instant donné, par les astres, la colatitude X, la longitude L, Tazimut A.

Comme L := H — H^, si l'heure de Paris est donnée par les chronomètres avec une précision suffisante, le problème se ramène, pour la longitude, à déterminer Theure du bord H.

Dans les formules de transformation (t. I, p. 5g),

(a) cos3=:cosXcos5 4- sinX sinocos.fl,

(5) sin^ cosA i=sinX coso — cosX sin8 cos AI,

on voit figurer les trois inconnues X, H et A avec la donnée o qu'on prend dans la Connaissance des Temps pour la date de l'observation, et la distance zénithale z que l'on mesure. En effet, s'il s'agit d'une étoile. Al = Hj -H iR; et s'il s'agit du Soleil, M]= H^ = h -f- e. Or iR, ascension droite de l'étoile, ou e, équation du temps, se trouvent dans la Connaissance des Temps, et, si l'on doit passer par l'heure sidérale H,, le même recueil donne le moyen bien simple d'en conclure l'heure H de temps moyen.

Le problème se trouvera donc pleinement résolu par de simples mesures de distances zénithales pour l'heure et la colatitude. Quant à l'azimut d'un objet terrestre quelconque, il suffira de mesurer la distance angulaire du Soleil à l'objet, à un instant donné, et de déduire des formules (b) et (c) l'azimut du Soleil à cet instant.

On a vu (t. P*',p. i25)que,pourobtenir la colatitude indépendamment de l'heure, et avec toute l'exactitude que comportent les observations de distance zénithale, il iaut observer le Soleil tcès

380 LIVBB YII. — CHAPITBB XXXTII.

près du méridien, et que, pour obtenir l'heure indépendamment de l'erreur à craindre sur la colatitude, il faut observer Taslre choisi très près de Tazimut de 90° ou de 270**. De là la pratique adoptée par les navigateurs : elle consiste à mesurer la distance zénithale do Soleil à rinstant de sa culmination pour en déduire X, et à Tob serrer le même jour, le matin ou le soir, aussi loin que possible du méridien, pour obtenir l'heure.

Culmination.

C'est le point le plus élevé du parallèle diurne décrit par le Soleil. Ce point serait dans le méridien du lieu si le o du Soleil était invariable et si le navire ne faisait pas de route en colatitude; mais ces deux circonstances ne donnent lieu qu'à des correctioos très faibles, que nous négligerons d'abord. Voici en quoi consiste Tobser^ation de midi. On commence robser\'ation avec le sextant un peu avant midi: en d'autres termes, onamèneFimage doublement réfléchie du Soleil en contact avec Thorizouparson bord inférieur; puis, comme le Soleil continue à monter quelque peu, les deux images se séparent. On rétablit le contact à Faide de la vis micrométrique, et on saisit bien aisément le moment où il se maintient de lui-même sans qu*il soit besoin d*agir sur la vis : cVst celui où la hauteur angulaire de Fastre atteint son maximum. On lit alors sur Finstrument la hauteur h du bord observé. En désignant par p,/>, ^ A la réfraction, la parallaxe et le demi-diamètre du SoleiK on a, pour la distance zénithale méridienne,

CH>* — /* -r- p —p -r- i A = J«,

et on en conclut a par

Cette formule répond à tous les cas, c*est-à-dire à toutes les positions où Fobservateur peut se trouver sur le globe terrestre, pourvu qu*on donne à z^ le signe + si Fon a observé au sud et le signe — si Fon a observé au nord (t. I, p. ia5).

Inutile d'ajouter que, si un obstacle quelconque faisait manquer

PROBLEMES DE LA, NAVIGATION ASTRONOMIQUE. 38l

l'observation de midi, on la remplacerait par des observations circumméridiennes (t. I, p. i33).

Détermination de Thenre et de la longitude.

Le soir on mesure la dislance zénithale du Soleil à l'heure H^ du chronomètre. Soient z cette distance zénithale corrigée de la réfraction et de la parallaxe, \ la colatitude obtenue en ajoutant, à celle qu'on a observée à midi, le chemin parcouru dans le sens du méridien. La même relation (a), résolue par rapport à iR, donnera l'angle horaire du Soleil, c'est-à-dire l'heure solaire vraie. On aura ainsi

sin J (-3 — 0 -hX) sin^(w H- o — X) = sinXsino sin'iiïï.

DciH = H„on conclut l'heure moyenne H par H = H^ — e, e étant l'équation du temps fournie par l'éphéméride, et de H on conclut la longitude par L = H — H^, H^ étant l'heure marquée par le chronomètre.

Ona vu (t.I, p. 1 26) que l'erreur àcraindresurXaurad'autantmoins d'influence sur ÏM conclu que l'observation aura été faite plus près de l'azimut de 90** ou de 270°. On appréciera cette influence et celle de l'erreur commise dans la mesure de z par la relation différentielle

, . , - ClZ cl A

~ sinA tangA

Cette relation montre que, pour les mêmes erreurs dz et d\ et les mêmes circonstances d'observation, c'est-à-dire à égalité d'azimut, la précision de l'heure ainsi obtenue décroît avec la colatitude.

Azimut. Orientation.

Soient V l'angle de route, c'est-à-dire l'azimut où se trouve le cap du navire, (A) la diflcrcnce d'azimut entre celte direcllonet celledu Soleil, et A l'azimut du Soleil au même instant. On aura V = (A) -\~ A. Si donc à un instant donné, II heure du lieu, on mesure Tangle (A) à l'aide de la boussole de relèvement, fonctionnant comme théo-

38s LITKB Tir. — CBAPITRB XXXTII.

dolite, îl suffira, pour avoir V, d'ajouter à (A) Tazimut actuel du Soleil. De H on conclut Tangle horaire M = H.,, puis on calcule A par la formule résultant de la division de (6) par (c)

colAsiniH= — sinXcoto H-cosXcos^H.

Tariation du compas.

Si au même instant on lit, sur la boussole de Thabitacle, Tazimut magnétique M' de la route sui\îe, et que Ton désigne par S la déclinaison de Taiguille aimantée et par D la déviation due aux fers du navire, on aura

M'4-D-h-S = V=Ah-(A),

relation qui fera connaître la variation D -f- 3, et même la déviation D si S est connu pour le lieu de Tobservation.

Discussion de cette méthode.

Elle ne portera que sur Tobservation de la culmination du Soleil ou de la Lune. Ce moyen de déterminer la colatitude est précieux en voyage, parce qu'il n'exige même pas de montre. Si l'astre obser\'é était une étoile, l'instant de la culmination coïnciderait avec celui du passage au méridien. Il en est autrement lorsque la distance polaire o varie avec le temps et quand l'observateur est place sur un navire en pleine marche. Différentions l'équation (a) par rapport à toutes les quantités qu'elle renferme en les considérant comme des fonctions du temps :

siïïz -7- =(sinÂ coso — CCS A sinocos.fl) -7cit ^ dt

do 4-(cosXsino — sinXcosScoSiH) -7-

-h sm A sin 0 sm Ai —7- •

A l'instant de la culmination, z atteint sa valeur maximum : par

conséquent -7^ = o. D'autre part,iH étant très petit, on remplacera

cosM par i et siniH par ôtôq)' ^^ exprimant Tangle M en minutes

d'arc. On a ainsi

d\ dZ

sinosinX a M

Il faudra perler celle expression dans celle de la réduction au méridien (t. I, p. 128 et i33), ce qui donne, en remarquant que

sin(8 — X)= sin^;,» est bien peu différent de sin^^ ^) el en

représentant par R le dernier facteur de la précédente formule,

3438' sînX sin8,,j

2 sm^

Le calcul de K ne présente aucune difficulté. Les variations qu'il comprend étant sensiblement constantes pour une heure entière,

on remplacera— ) par exemple, par — > en faisant A^ = i^ ou i5°

ou 900', et en mettant pour A5 la variation horaire de 8. De même

-jT sera égal au quotient du nombre de milles parcourus en une

heure par le vaisseau, dans le sens du méridien, divisé par 900'.

Quant à -rr-^ on a, s'il s'agit du Soleil,

iH = II/,H-L — e, d'où A^=i:AlIp4- AL — Ae,

expression où l'on remplacera AH^ par 900'. S'il s'agissait de la Lune, on aurait

par suite

A^ = Mhp -H AL — A^.

Il est aisé de s'assurer que la correction qui en résulterait ne s'élèvera pas à 2', dans les circonstances les plus défavorables. On a donc raison de la négliger à la mer. Pour des observations soi-

gnéesy faites à terre, il faudrait tenir compte de -7-

Détermination simnltanée de Theure et de la colatitnde. Problème de Donves. Solution de Lalande.

La pratique précédente suppose un cîel découvert juste à Tinstant favorable. S'il en était autrement, on obtiendrait encore rheure et la colatitude à Taide de deux distances zénithales mesurées k des instants quelconques de la journée. C'est un problème fort simple, dont un navigateur hollandais, nommé Douwes, a donné autrefois une solution satisfaisante.

Soient z et z les distances zénithales du Soleil mesurées aux heures H;, et H^ du chronomètre (H^ — e et H), — e' seront les heures vraies en temps de Paris), o et o' les distances polaires, Xi et L| les coordonnées estimées du navire à l'instant de la première observation, enfin Aa et AL les changements en colatitude et en longitude qui se sont opérés dans rinter\alle des deux observations. Si M représente Tangle horaire inconnu du Soleil au premier instant. Tangle horaire au deuxième sera

JI-^i5iH; — e'-r-AL) — i5(Hp — e>,

ou .^^ -r- a, en désignant par a une quantité immédiatement calculable, et on aura les deux équations

oo> z' i^ co< 1 À — aV ^ co< w' — sin ^ À — A). ) siii o' cos {Al -r- 2 ),

entre les inconnues \ et M.

rS\ni> verrons plus loin «]ue la première équation représente, sur la sphère, un cerele de ra\on r. que la deuxième est un second cercle île ravon ^ l«':;èremenl d- formé. Ces deux courlu*> se couperv^nl on deux poinl<, ce qui conslilue doux solutions. Mais il o'v aura pvîs à lusilor entre K s deux valeurs qu'on en pourrait tiror pour Jl, puisque nous a\ons déjà, par Testime, une solution appn.>ch e y, et l.,. d'où Von déviuit JI, 1= H., — e -^ L, .

Le plus simple esî de resoudrt* ces équations par les méthodes d*appn ximaliou qu'on enseigne en Algèbre. Nous sui\Tons en cela la voie tracée par Lalande. Des deux coordonnées que fournil

PROBLèMES DE LA NAVIGATION ASTRONOMIQUE. 385

Tcslime, la plus sûre est ordinairement X|. Portons-en la valeur dans les deux équations et désignons par M2, M'^ les valeurs qu'on en déduira pour Tangle horaire. Si Xi se trouvait être juste, ces deux valeurs du premier angle horaire seraient égales, c'est-à-dire qu'on trouverait

mais, en général, ces deux équations donneront, par ce premier essai, deux valeurs différentes. Désignons par â\ la petite correction qu'il faut appliquer à )w|. Si Ton augmente "ki de dX, M2 augmentera

de -7— T r (t. I, p. 126), et M'2 de -:— 7;^ -T-n r,' O^ aura

sinXtangA^ ^ ^' sin(A h- AX)langA'

donc, pour déterminer la correction inconnue dX, l'équation de condition

sinXtangA sin(X -+- AX)langA'

La correction d\ étant obtenue, les éléments relatifs à la première

observation seront X = Xi -f- dX, M = M2 H — :— r r ^ d'où ré-

sinXlangA

suite immédiatement la longitude L.

La formation de cette équation de condition exige le calcul des deux azimuts par les formules rappelées plus haut. On y emploie des tables à trois décimales.

Si l'on trouvait ainsi pour (?Aune valeur un peu forte, il y aurait iieude craindre queles termes du deuxième ordre, omis dans le développement de iîf, ne fussent pas négligeables (*). On regarderait alors le calcul effectué comme une première approximation. En le recommençant avec la valeur beaucoup plus exacte X^i -f- d\ on obtiendrait, cette fois, une approximation bien suffisante.

(') La variation de^, correspondant à une variation dX de X, peutôtre en effet développée en série suivant les puissances croissantes de dX. Le premier terme est

-r-T r ^X ; on admet ici que c^X est assez petit pour que les termes suivants

smXungA ^ r r 1

en (^X)', (dX)^... soient négligeables. Dans le cas contraire, on opère, comme il est dit plus haut, par approximations successives.

il. 25

386 LIVRE VII. ~ CBAPITRB XXXTIl.

Influence des erreurs d'obserration.

Dans l'équation finale

Lsid(a -i- AA)langA smAtaDgAJ '

le second membre est affecté des erreurs commises sur les mesures de z et de y. Pour que ces erreurs inQuent le moins possible sur la correction conclue d\^ il faut agencer les observations de minière à rendre son coefficient aussi grand que possible. De là la règle qui prescrit d*obser>'er dans deux directions azimutales fusant entre elles un angle bien ouvert, et aussi près que possible de 90^ {*y

On a retourné ce problème de toutes les façons sans réussir à trouver de solution meilleure que celle de Lalande.

Droites et cercles de hauteur.

Nous avons vu qu*à Taide des cartes marines on substitue, as calcul, des constructions graphiques fort simples pour résoudre les divers problèmes de routes. On a cherché à en faire autant pour les problèmes astronomiques. Cest à quoi l'on parvient aisémeot en recourant à des cartes sl-^réographîques qui permettent de construire avec la règle et le compas tous les problèmes de la Trigonométrie sphêrique. Mais, comme ces projections ne sont guèrr en usage à bord, on désirait utiliser les cartes de route ordinaires. Voici ce qui a mis les chercheurs sur la voie, il v a une quarantaine d'années.

Le capitaine Sumner se trouvait, en iSSj. près de la côte dlrlande .à destinalîon de G^ennock^• sans avoir pu faire d'observation astronomique depuis qu'il avait dépassé le méridien de 3 i8*3o .

Dans la nuit du ij* décembre, le vent avant passé au sud-est et Testime donnant 4^>o milles du phare de Tuscan« avec la terre

* Ea <ff<(. en m<^U(«4At ÙÀ, k f^ctccr «Se OÀ rxrriemt à

%ukK stnAsiaA'

sous le vent, il gouverna est-nord-est, serrant le vent le plus possible. Quand le jour parut, rien n'était encore en vue. Vers io^3o™ seulement, le commandant put prendre une hauteur du Soleil. Avec le chronomètre (un bon instrument), il calcula sa longitude et trouva 339^4^' 9 mais, comme il avait fait près de 700 milles sans une seule observation, la colatitude employée dans le calcul de l'heure ne méritait aucune confiance. Pour apprécier l'effet d'une erreur possible en colatitude, il calcula encore deux autres longitudes, en partant chaque fois d'une colatitude de 10' moins grande. Les trois points ainsi obtenus ayant été marqués sur la Carte, Sumner remarqua qu'ils se trouvaient sur une même droite dirigée est-nord-est et aboutissant au bateau-phare de Small, et comme son vaisseau devait se trouver sur cette droite (bien entendu dans la supposition d'une erreur nulle pour le chronomètre), la route est-nord-est fut maintenue, et le capitaine Sumner eut la satisfaction de se voir bientôt en vue du phare de Small.

La ligne à laquelle appartenaient ces trois points n'était pas rigoureusement une droite, mais l'élément à peu près linéaire d'un cercle de tous les points duquel des observateurs auraient vu le Soleil, au même instant, par la même distance zénithale que le

Fig. 81,

capitaine américain. En effet, considérons l'observateur situé en A et mesurant, à l'heure moyenne H^, la distance zénithale ZAS = z du Soleil. Menons la droite SC qui joint le Soleil au centre de la Terre et qui rencontre le globe en s. L'angle ZCS sera la distance

388 LITRE TH. — CHAFITRB XXXTIl.

zénithale géocentriqne ou z. Cela posé, faisons toamer la figure autour de la droite CS. Le point A décrira sur le globe un petit cercle dont le pAle sera s, et dont le rajon s A aéra Tare qui mesure l 'angle z.

Il est aisé de déterminer les coordonnées du point 5, point où le rayon vecteur CS du Soleil perce la surface terrestre à l'heure H^. D'abord sa colatitude Ps est é\'idemment égale à la distance polaire 8 de Tastre. Ensuite l'angle horaire du Soleil à Paris étant H^ — e, cet angle est égal à l'angle compris, sur le globe terrestre, entre le méridien de Paris et celui du point 5. Comme les longitudes géographiques se comptent, à partir du méridien de Paris, en sens inverse des iH, 36o® — (H^ — e) sera celle du points. Vous voyez qu'il est facile de marquer ce point sur une carte, et, si elle est stéréographique, de construire le cercle de rayon z dont le centre (sur la sphère) est en 5. Dire qu'à Theure H^ de Paris, ou H^H-L d'un certain lieu, le Soleil avait pour distance zénithale Zy c'est dire que l'observateur se trouvait quelque part sur ce cercle. Une seule observation ne donne rien de plus.

On ne saurait tracer ce cercle sur une projection de Mercator; sa transformée est bien trop compliquée. On peut du moins le construire par points à l'aide de son équation.

Soient X et L les coordonnées inconnues Je l'observateur A; l'angle horaire du Soleil à l'instant H^ sera Hp — e + L. On aura donc l'équation

ces z = ces X CCS 0 H- sin X sin 0 ces ( H^ - - e -+- L ).

Elle s'appliquera à tous les points de la ciix^onférence susdite, pourvu qu'on y regarde X et L comme des coordonnées courantes. Cela posé, donnez à ). une série de valeurs arbitraires, distantes de 10' en 10', à commencer par la colatitude approchée que fournil l'eslime, et calculez les L correspondants à l'aide de celte équation. Les points ainsi déterminés et portés sur la carte marine seront sur la courbe qui y représente le cercle susdit, et, comme il s'agit cTune courbe à grand rayon, de 3o, 4o, 5o, . . . degrés, cette petite portion de courbe se confondra sensiblement avec la tanj;enleAB (^/t£^' 82).

Pour tracer cette tangente sur la carte, deux points, calculés

PROBLÈMES DB LA NAVIGATION ASTRONOMIQUE. SSq

comme nous venons de le dire, suffiront. Elle porte le nom de droite de hauteur. Le navire doit se trouver quelque part sur cette portion de droite un peu prolongée des deux bouts.

Il est facile de voir qu'elle sera perpendiculaire à la direction

Fif;. Sî.

azimutale où l'on a observé le Soleil. Cette direction est en effet A5 {fig* 8i)> trace horizontale du vertical du Soleil et rayon du cercle de hauteur. Par conséquent, si on a déterminé Pazimut du Soleil (au compas de relèvement fonctionnant, non plus comme théodolite, mais comme une boussole dont on connaîtrait bien la variation), on pourra se contenter de calculer un point de la droite de hauteur et de mener, par ce point, une droite perpendiculaire à cette direction azimutale.

Si, quelque temps après, à l'heure H' , le navire ayant fait le chemin bX en colatitude et AL en longitude, on observe de nouveau le Soleil par la distance zénithale :;', on aura pareillement

ces;;' ^ cosXcosû' -\- sin Xsin8'cos(H^ — e' H- L),

X et L étant encore, sur la carte, les coordonnées courantes d'un second cercle de hauteur. Remplaçons-le pareillement par une droite de hauteur CD. Dès lors, à l'heure H^, le navire a dû se trouver quelque part sur AB; à l'heure H' sur CD, et dans l'intervalle il a décrit à la surface du globe une petite droite 5, sous l'angle de route V, éléments qu'on déduit de A)., AL et de la colatitude de l'estime X, par les formules (p. SSy)

5cosV = AX,

5 sin V m — aL sin X.

La question est donc ramenée à ce petit problème de Géométrie :

3go LIVRE TH. — chapitre xxxvii.

mener entre les deux droites AB, CD, sous un angle donné V (avec les méridiens de la carte), une droite EF de longueur s. Les points E, F seront les positions du navire aux heures H^, H'p (').

On a varié ces constructions de toutes les manières ; mais comme, après tout, elles exigent presque autant de calculs que la méthode de Lalande, outre des constructions graphiques plus ou moins embarrassantes y nous ne comprenons pas que les marins attachent tant d'importance à ce qu'ils appellent les nouvelles méthodes. Au fond, les droites de hauteur ne sauraient avoir d'utilité que dans le cas particulier où s'est trouvé le capitaine Sumner, celui où Ton doit atterrir avec des observations astronomiques incomplètes.

(^) Il esta remarquer que la seconde équation de la p. 384» relative à la méthode de Lalande, ne se confond pas avec celle de la p. 889 et ne représente pas un cerck sur la sphère quand l'observateur s'est déplacé.

DÉTERMINATION DES LONGITUDES EN MER. SqI