DÉTERMINATION DES LONGITUDES EN MER. '6^'S

Si Ton évalue la longitude conclue en arc, le rapport -^-^ de-

vient — ^=3o à peu près. Ainsi toute erreur sur la distance

observée produit une erreur trente fois plus forte sur la longitude.

Observation des distances lunaires.

L'observateur, maintenant le sextant dans le plan des deux astres, pointe sur Tun d'eux avec la lunette et amène dans le champ l'image doublement réfléchie de l'autre. Les deux images étant placées entre les fils parallèles au limbe, on met les deux disques en contact par leurs bords et Ton note l'heure. Il y a là une condition essentielle : c'est d'affaiblir Timage la plus brillante par l'interposition de verres obscurcissants, de manière à les ramener toutes deux à la même intensité. Alors le contact des deux bords du Soleil et de la Lune s'effectue avec une véritable précision. Si au lieu du sextant on emploie le cercle de Borda, la mesure de la distance sera indépendante de toute excentricité; par des observations croisées, on élimine l'erreur d'origine des divisions, c'est-à-dire du point de parallélisme des miroirs; par la répétition, on supprime les erreurs de division et l'on atténue celle du pointé. Néanmoins, c'est là la plus diflicile de toutes les observations astronomiques ; il faut une adresse particulière et une grande habitude pour maintenir les deux astres dans le champ de la lunette, malgré les oscillations du navire.

Théoriquement, la seule difficulté de cette méthode consiste en ce que les distances lunaires, observées à la surface de la Terre, ne sont pas directement comparables à celles de la Connaissance des Temps qui sont calculées pour le centre de notre globe. Il faut donc les ramener à ce point par un chaugement d'origine dans les coordonnées, et en tenant compte de la réfraction. En outre, l'observation donne la distance des bords, tandis que la Connaissance des Temps donne celle des centres. De là une nouvelle réduction, qui consiste à ajouter, à la distance des bords, les demi-diamètres apparents des deux astres, en tenant compte de l'effet particulier de la réfraction.

Soient donc Df cette distance des centres observée d'un point M

394 LITBE VII. — CHAPITBB XXXTIII.

de la surface du globe, 5, elz\ les disUnces zénilhales apparentes des deux aslres S, el L, telles qu'on les observerait du même poinl M, (A) leur différence d'azimut, Z le zénith en M, el construisons le triangle sphérique Z S| L,, dont les sommets seront les projections

Fig. 83.

UoriaÀ>n^

des deux astres et du zénith sur la sphère céleste. Si l'on passe du point M au point O, situé (en supposant la Terre sphérique) sur la verticale MZ, les aslres ne sortiront pas de leurs verticaux primitifs ZML|, ZMS|, et se projetteront seulement en d'autres points L et S sur les côtés ZL{, ZS| de ce triangle. Leur distance L| Si, vue du point M, que nous désignerons par D^ deviendra la distance LS vue du centre de la Terre, distance que nous désignerons par D. Dans le premier cas, les côtés ZL|, ZS| du premier triangle seront les distances zénithales apparentes des deux astres, affectées de la réfraction; dans le second triangle, les côtés ZL, ZS en seront les distances vraies et géocen triques. Ces deux triangles, qui ont l'angle (A) commun, nous donnent

(i) cosDi =1 cosc,cos3', -+- sin j, sinc'j cos(A),

(2) cos D = cosc cosc' -T-sin-3 sin3'cos(A).

Les distances zénithales w, d^ z^^ z\ sont connues; il suffira donc d'éliminer cos(A) entre ces deux équations pour avoir D, c'est-à-dire la distance géocentrique dès deux astres, celle qu*OD doit comparer aux distances calculées d'avance dans la Connaissance des Temps pour obtenir l'heure de Paris.

Evidemment la difficulté de ces calculs ne git pas dans la combinaison des équations (i) et (2), encore plus faciles à résoudre que

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celles du problème de Douces, mais dans le détail des correetions de réfraction et de parallaxe qu'il faut appliquer ici. Nous allons voir, en effet, que ces corrections doivent être obtenues avec plus de précision qu'on n'en apporte d'ordinaire dans les calculs d'Astronomie nautique, et qu'on ne saurait se dispenser d'y tenir compte de l'aplatissement du globe terrestre.

Conditions d'exactitude.

Notre attention doit se porter en premier lieu sur Terreur commise dans la mesure de D< . En différentiant (i) et (2) par rapport à D, D< et (A), puis, en divisant les résultats membre à membre, on trouve

,-^ sînxTsin:;' sinDi „,

dDzzz -. : — - . ' t/D,.

sini^jSin^f sinD

Pour le Soleil, dont la parallaxe est très faible, la réfraction l'emporte sur la parallaxe; aussi avons-nous placé S au-dessous de S| dans la figure précédente ( c'est l'inverse pour la Lune). Le rap-

port-T — - est donc >• i, mais à peine différent de l'unité. De 10**

d 70° de distance zénithale, il varie de 1, 000254 à 1,000257. Le rapport analogue pour la Lune est plus petit que i, et varie de

i à 0,082. Il en est de même de . ^: sa variation est encore plus

faible. Concluons de là qu'une petite erreur <iD<, commise dans la mesure de la distance apparente, se reportera avec son signe et presque sans altération (^tout au plus de un ou deux centièmes) sur la distance conclue D. Si donc on négligeait, au commencement du calcul, d'apporter quelque petite correction à D| , il serait permis de l'appliquer après coup à D.

Considérons en second lieu les erreurs des distances zénithales ; pour cela, exprimons D — D< en fonction des différences z — 5|, y — zf^, et, pour abréger, désignons-les par les lettres j:, a, a'. Remplaçons, dans l'équalion (2), D, 5, 5'parD<-+-j:,5|-ha,;;^-f-a'; développons les sinus et cosinus en traitant j:, a, a! comme de petites quantités dont les cosinus peuvent être remplacés par i et

les sinus par les arcs correspondants. Il viendra ainsi

cosDi — j;sinDi=(cos-5| — o[sin^i)(cosy, — a'sin^i)

(sin5| -h acos2|)(sin3'^ -+- a'cos5j)co5(A).

Eflectuons les multiplications en omettant les carrés et les produits deux à deux de x, a, et!. Après avoir supprimé les termes qui se détruisent en vertu «le l'équation (1), on aura

a7sinDj = a[sin5|COS-5j — cos^tsin^'i cos( A)] 4-a'[sins'j cos5| — cosCj sin5|Cos(A)].

Or le triangle ZS< L| donne

sinD,cosS| r= sin^,cos>s', — cos-Sisin<5', cos(A), sinD]SinLi -=2 sinz\ cos^i — coâ>Sj sin^|COs(A).

La relation précédente se réduit donc à

x-=ioL cosS| -h a' cosLi-

Ainsi la réduction x de la distance apparente à la distance géocentrique dépend uniquement de a et de a', c'est-à-dire des corrections de réfraction et de parallaxe z — 2|, 2' — z\y et elle est moindre que leur somme. Toute erreur sur z et Zt à la fois, ou sur z' et z\ , sera sans influence, à moins qu'elle ne soit asseï grande pour fausser notablement les angles L| et S|, ce qui esl inadmissible. Il faut donc calculer avec soin les corrections susdites de réfraction et de parallaxe, et ne pas oublier que toute erreur finale commise sur D se reportera sur la longitude conclue avec le facteur ^7, s'il s'agit d'une distance de la Lune à une étoile, et le facteur 29 ou 3o, s'il s'agit d'une distance luni-solaire.

Cette même relation conduit à deux autres conséquences importantes. La première est qu'il n'est pas nécessaire de mesurer les distances zénithales apparentes z^ et z\ des deux astres : il sufiil de les calculer avec les éléments de l'estime ( à moins que le Soleil ne soil bien placé pour donner l'heure du bord). Lorsqu'on se décide à les observer, il faut qu'elles répondent à l'instant où l'on mesure U distance D,,^ Trois observateurs sont alors nécessaires pour délcr-