ÉTUDE DE LA LUNE. -- DE 8A PARALLAXE
Soient C la Terre (Sg. iU), A A' le diamètre de l'éqaateur, 0 la position de Tobservateur, HH' son horizon apparent.
Flg. 114.
La normale au point 0 est jsOL.
L'angle OLA est la latitude astronomique ou géographique du point 0.
L'angle OCA est la latitude vraie ou géocentrique,
U est évident que c'est la latilude OLA que donnent les observations astronomiques. La différence entre ces deux latitudes est l'angle COL que nous désignerons par V et que Ton nomme angle à la verticale.
Appelons L la latitude géographique, a le demi grand axe AC^ b le demi petit axe BC, et p l'aplatissement qui, comme on l'a vu (33), est égal
à . On a donc
D'où l'on déduit
b:^aH^p).
Appelons x'ei y' les coordonnées elliptiques du point 0, et/* le rayon CO. Le triangle COP donne
Or, diaprés les propriétés de Tellipse^ on a tlai^ on a ( := a (1 — p); il vient donc
Gomme le point 0 appartient à l'ellipse, on a
246 AStRONOMlE. — GÉOMI&TRIE CÉLESTE.
OU en mettant à la place de b sa valeur en fonction de p et en simplifiant*
Éliminant y' entre (a) et {$), il vicnt^ en simplifiant,
x'\\ — p)«tang«L + x" = a% d*où l'on déduit
i+0-p)'tang«L' Mettant cette valeur à la place de x'* dans (a) élevé au carré, il vient
Substituant ces valeurs de j/* et y'^ dans la valeur de H, on obtient
On peut développer r en série, en Tonction dos puissances croissantes de p, à Taide la série de Mac^Laurin
Si, dans la formule (S), nous faisons d'abord p = 0, il vient
Prenons le premier coeflicient différentiel; on a, en chassant le déocH minateur, différentiant et réduisant,
(0 r J [1 + (1 - p)« tang«Ll-r*(i - p) tang*L= -2a«(i -p)* tang*L. tfp
^L) — VUng*L=— 3a»Ung*L,
Qtang'L ^ . „
1 +tang*L
rement le terme du troisième ordre qui est
ÉTUDE DE tA LUNE. — DE SA PARALLAXE. 247
toujours très-petit^ nous nous arrêterons au terme du second ordre; il vient alors
(t)) r=ia — flpsin*L.
Si nous mettons maintenant la valeur de r donnée par cette relation dans la valeur P de la parallaxe horizontale qui convient à une latitude L, nous obtenons
ou
Représentant par ic la parallaxe horizontale équatoriale^^--:—^, on a
enfin
P = ic — icpsin*L.
On a calculé une table qui est la table XI de Callety la XXI* des tables de M. CaiUet (l** édition), la XXIV* de la 2* édition, et enfin la table XX de GuéprattSy et qui donne la diminution (icp sin'L) de la parallaxe équa^ ioriale.
Cette table a deux arguments qui sont :
i^ La parallaxe équatoriale donnée de deux en deux minutes;
2» La latitude du lieu donnée de trois en trois degrés.
2d5. Nous avons dit (106), en étudiant le mouvement du Soleil, que nous pouvions, de la formule sin /> = sin P sin N, conclure /) = PsinN, les arcs p et P étant très-petits. Or, comme pour la Lune P a une assez grande valeur, il faut savoir si les quantités dont on ne tient pas compte sont réellement négligeables.
Pour cela, développons p suivant les puissances croissantes de P au moyen de la série de Mac-Laurin
En faisant P =: 0 dans la formule sin/^z=sinPsinN, on trouve ^^=0. Différentiant trois fois cette formule, on obtient
cosp (-^j =cosPsinN.
-sinp (5p)* + cos/>^,=-sinPsinN.
-cosp (g) - îsinp g.^- sinp g.g-f cos;>^.=-cosPsi
248 ASTRONOMIE. — GÉOMÊTRIB CitESTE.
Faisant P = 0, on a
(^) = — "ûN+sin»N =— sinNcos^N.
On obtient donc, poor p,
/> = F sin N — — sin N cos* N.
Pour que p et P expriment des secondes^ il faut les remplacer par p ûny ei P sin i".
Il vient alors, en simplifiant^
. „ P'sinM'' . „ ,„
»=PsmN smNcos'N.
Le seccmd terme varie avec N et atteint $a valewr maximwm pour la valeur de N, qui rend sin N cos' N maximum. Si l'on pose la relation
y = 6inN *l — sin'N),
et qu'on prenne les deux dérivées successives, on trouve
^=rco6N(i— sin»N) — Ssio«NcosN = co8N — 3sin«NcosN, ^=— sinN— 6sinNco8«N + 3sin»N = — 7sinN + 9«n'N
En posant ^=s 0, on obtient
cosN — 3sin'Nco6N = o, doù
sinN = d=-i:.
N étant < que M", on prend la valeur positive H — :r. Eo substituant
iTv I
cette valeur dans ^, on trouve une valeur mègmîivt; dooc sin N = -= «*> v3
Cil la valeur qui rend sin N oos* N m«x»iMii. Le second tenne de p devient donc
PsinM- n
