D^LT
d'où
mais* on a aussi l'équation
LA __ sinn sin (N — ;*) LT ■" sinN "" sin N '
sinN
^ Dxsin(N— p)
sm N
Puisque $ est une fonction de p, on peut développer l en série suivant les puissances croissantes de />, à l'aide de la formule de MacLaurin
En différentiant l'expression (a) par rapport à S et à p^ on a
d'où
d5 = : — r; COS (N — ») dp.
sm N ^ '^^ '^
— = r-;-COS(N— p).
dp siaN ^ '^'
Différentiant l'expression (b), on a
sin !
c/'8 = --.-j.»in(N-/>)dp%
:r-î = :— ïs sm (N — ;>).
dp* sm N ^ *^ '
Faisant ;> = 0 dans les formules (a), (6), (c)^ on a
ÉTLDE DE l,A I.CNE. — VâRUTIONS DE SON DIAMËIttE APPARENT. il\
(g)^ = -Dco.gN,
Par suite, la série de Mac-Laurin devient 5 = D — DcotangN .p — D
Elemplaçant p par PsinN, il vient enfin, eu remarquant que les arcs $, D et P doivent être exprimés en secondes,
8 = D — D.Psinl'cosN — --TsinM"P»sin»N.
relation qui permettra, connaissant D demi-diamètre apparent obtenu au miaomètre et corrigé de la réfraction, P la parallaxe horizontale et N (a distance zénithale corrigée ausii de la réfraction, d'en déduire le demi-diamètre horizontal S.
La différence entre S et D ne dépasse jamais 18^5.
Nous pouvons considérer immédiatement la question réciproque.
lÊCiPAOQUE ou PASSAGE DU DEMI-DIAMÈTRE HORIZONTAL d'UN ASTRE AU DEMI-DIAMËTRE EN HAUTEUR.
Fi«. lis.
2Î4. La Connaissance des temps donne le demi-diamètre vrai ou hori-
zontal des astres.
Or, dans certains calculs de navigation, on a besoin du demi-diamètre de l'astre pris à la surface de la Terre, c'est-à-dire du demi-diamètre en hou* teur; représentons toujours par
8 le demi 'diamètre horizontal d'un
astre; D son demi-diamètre en hauteur; N la distance zénithale apparente zAL
(fig. i^S), corrigée de la réfraction; p la parallaxe en hauteur de Vastre.
Nous venons de trouver la relation
SsinN
&in(N— p)*
D étant une fonction de p, on peut écrire la série
pour p = 0, on déduit de (û'), 0^= o. DifTérentiant (a% on a
(60 dDsin(N— p)— DcosfN— />W/> = 0,
d'où, faisant p == 0, on a
DifTérentiant (6), on a
rf«Dsin(N— p)— rfDcos'N— p)Jp— rfDcosiN— p)(fp— Dsin(N— pirfp'=0.
Faisant p = 0, on a
d'où
/d*D\ aacos'N+ôsin'N ■> (t + cosVN) \rf^/,"~ sin'N "* sin'N *
En nous arrêtant aux termes du second ordre, nous aurons donc
Remplaçant p par PsinN, il vient
D = 5 + 8.PcosN+-^8(l+cos»N)
Ou^ remarquant que les arcs D^ ly P doivent être exprimés en secondes,
(c) D = e + 8Psinl"cosN+ -^sinM"$fi + cos'N)
Telle est la relation qui lie le demi-diamètre en hauteur au demi- diamètre horizontal»
Le terme — sin' 1" 8 (i + cos* N) est plus petit que P* sin* l'' 8. Or, en
mettant à la place de P et de 8 leurs valeurs maxima qui sont, pour la Lune, 8 = i6'45'' et P=61'2r, on trouve^ sin* 1" 8 = 0^34 environ, quantité négligeable.
ÉTUDE DK LA LONB. — FORME DE CORBITE tUNAIRE. 273
Od s'en tient donc au terme P, et Ton a
(0 D = S + 8Psiul"cosN.
Le terme 8P sin 1" ces N est ce qu'on nomme P augmentation du demidiamètre horizontal; cette quantité n'est appréciable que pour la Lune.
On peut éliminer P des relations (c) et [c% lorsque Ton suppose la Terre sphérique; car en appelant r le rayon de la Terre, r* le rayon de la Lune et R la distance à laquelle le centre de la Terre est du centre de la Lune, on a les deux relations
""Hsinl"' ""Rsini"'
d'où Ton déduit
ce qui indique que le rapport d'une parallaxe horizontale au demidiamètre central correspondant reste constant et est égal à -7, que l'observa-
tion indique être égal pour la Lune, à — environ. La formule (c) peut
donc s'écrire
D — 8=^sini"8«cosN + l('^sinl"y8»(i + cos«N).
La XVC des tables de M. Caillet (!'• édition) et la XXV (nouvelle édition), ainsi que la table XXIV de Guépratte, donnent cette différence.
La table XIII de Callet donne aussi cette augmentation.
Cette table a deux arguments qui sont le demi-diamètre horizontal 8 et la hauteur apparente du centre (90 — N).
Lorsque N —90*, c'est-à-dire quand l'astre est à Thorizon, la formule (c') devient
Le demi-diamètre vrai ou central est donc à peu près égal au demidiamètre de Tastre observé à l'horizon, abstraction faite de l'effet de la réfraction et de cet effet d'optique qui fait paraître les astres à l'horizon beaucoup plus gros et moins brillants.
C'est en raison de cette égalité entre le demi*diamètre de l'astre considéré à l'horizon et le demi-diamètre vrai, que celui-ci prend aussi le nom de demi-diamètre horizontal.
A mesure que N diminue, le terme SP sin i" cos N augmente et atteint sa valeur maximum quand N = 0\
Wo. Forme de l'orbite lunaire, — A l'aido d'un mia*omètre^ de la lunette
ASrnONOMIE — GÉOMÉTRIE CÉLESTE.
méridtennôj du cercle mural et de la pendule sidérale , observons chaque jour le diamètre apparent de la Lune (duquel nous déduirons le diamètre central), sa déclinaison et son ascension droite; nous connaissons aussi sa déclinaison et son ascension droite lof*squ*elle est à ton nceud Q en N (fig. 129], par suite, nous pouvons, dans le triangle NPL^ déterminer Tare NL ou Tangle NTL pour chaque position de la Lune.
Prenons maintenant une feuille de papier, plaçons la Terre en T(fig. 130), et menons la ligne NN' pour représenter celle des nœuds de la Lune.
Faisons les angles NTL^ NTL' que fait, pour chaque observation^ le
rayon vecteur avec la ligne des nœuds; portons les longueurs TL^TL'
inversement proportionnelles aux diamètres D^ D' déterminés.
Si nous joignons tous ces points par un trait continu» nous reconnaîtrons que la Lune décrit dans une période de 27 jours 1/3 environ, sensiblement une ellipse dont la Terre occupe l'un des foya*s.
Le grand axe s'appelle encore ligne des apsides et les extrémités de ce grand axe s'appellent apsides. L'extrémité P, qui est la plus voisine de la Terre, s'appelle périgée, et l'autre A, apogée.
Cette courbe que parait décrire la Lune autour de notre globe est un mouvement relatif; car, comme on a reconnu que la Terre décrit réellement (le Soleil étant supposé fixe) une trajectoire à peu près elliptique autour du Soleil, les variations du diamètre et de la longitude de la Lune dans une période de 27 jours 1/3 environ, se rapporte aussi évidemment an centre de la Terre considérée comme fixe.
226. Calcul de V excentricité, ^LdL valeur de l'excentricité e de celle ellipse peut s'obtenir comme pour le Soleil (138), à l'aide du plus petit et du plus grand diamètre de la Lune. On déduit de l'observation que le diamètre de la Lune varie depuis 29" 30" jusqu'à 33^ 30" environ.
On aura donc, ainsi que nous l'avons fait pour le Soleil,
ÉTUDE DE LA hVSB, — FORME DE L*ORBITB LUNAIRE.
Des mélbodes plus rigoureuses donnent 0,0568.
Ainsi, Tellipse que décrit la Lune autour de la Terres s'approche moins d'un cercle que celle décrite par la Terre autour du Soleil, puisque dans oelle-ci^ l'excentricité est de 0^0167. En déterminant ainsi l'excentricité pendant plusieurs années et à chaque révolution de la Lune, on trouve que cette valeur de e n'est pas constante et oscille entre deux limites fixes; on peut aussi constater que les diamètres maximum et minimum de la Lune oscillent entre deux limites et indiquent une contraction de l'ellipse, orbite de la Lune.
Le tableau Vivant qui donne les valeurs du diamètre maximum et du diamètre minimum de la Lune, pour les difiërents mois lunaires de l'année 1858, tels qu'on les déduirait de l'observation, fait voir le mouvement oscillatoire qui se produit dans la distance périgée et dans la distance apogée de la Lune, et par suite, dans la valeur de V excentricité.
DIAliTTRE
DIAIÈTRE
LUNAJBOKS.
LA OlbTANCC PI^RIGÉE
