ÉTUDE DE LA LUNE. — DÉTERMINATION DES PHASES

Ainsi la différence en longitude du Soleil et de la Lune, le 27 février à iœi4~30'T. M. de Paris n'est pas 180», mais 179* 59' 44^67; la différence en longitude est donc plus petite de i5",33, et Tinstant de l'opposition doit arriver un peu avant 10^ 14* 30*. D'après la formule que nous avons donnée plus haut nous aurons

Ainsi l'époque plus approchée de Topposition en longitude sera le 27 février à 10' 14" 30* — (29%2) = le 27 à 10" 14" 00*,8. ou en nombres ronds,

le 27 février à 10' U" 01' T. M. de Paris. Cest ce que donne la Connaissance des temps (page 133).

240. Nous n'avons considéré le calcul de l'époque d'une phase de la Lune qu'au point de vue des longitudes, c'est-à-dire de l'écliptique, et nous avons supposé que cet astre est toujours à peu près dans ce plan.

On peut aussi considérer les phases de la Lune par rapport à l'équa* leur, autrement dit au point de vue des ascensions droites. Le calcul est identiquement le môme que celui que nous venons d'indiquer, les longitudes des deux asti*es sont seulement remplacées par leurs ascensions droites.

Exemple.

Déterminer l'heure T. M. de Paris au moment de la conjonction • en ascension droite du mois de mars 1858.

Calcul approché au moyen de la formule

0*— (,R0 — iRC)

(eO T = / +

Nous représentons par L et par / les mouvements horaires en ascension droite de la Lune et du Soleil.

En cherchant dans la Connaissance des temps, nous trouvons :

%%% ASTROIfOMlB. — GéoaiTElE CÉLESTS«

iRO le 15 mars à 0' T. M. de Paris = 2y40-ir,01=355»04'15M5 ;R^ le id. iJ = 354 3919^6

Différence en ascension droite. = +0 24 55 ,55 A© le 15 mars à 12' T. M. de Paris = 23*42-06%68 = 355 31 40 ,2 iR^ le id. id = 0 44 0 ,4

Différence en ascension droite. = — 5 12 20 ,2

Ainsi, la différence en ascension droite de la Lune et du Soleil doit être nulle entre le 15 mars à 0' T. M. de Paris et le 15 mars à 12' T. M. du même lieu.

Le mouvement en ascension droite du Soleil en un jour est de 54' 50^10, celui de la Lune en 12' est de 6"" V Wjij on aura donc

Mouvement horaire du Q en ascension droite ou /= 2'17''^08 id. ^ id. ou L= 30 23,40

d'où /— L = — 28'06'',32 La formule (e') devient alors,

T = 15marsà0'+-^^^.^g^

Effectuant les calculs, on trouve

HeureapprocbéeT. M. de Paris au moment ) , .^ v^v..*,*.-.^ p,^

. , *^ . ,. . j .. =lel5marsà0'53"12',73.

de la conjonction en ascension droite )

Déterminons cette époque plus rigoureusement. Pour cela^ cherchons Tascension droite de la Lune et celle du Soleil pour l'heure que nous ve« nous de trouver, c'est-à-dire pour le 13 mars à 0' 53" 12*,73.

Ccdcul de Pascension droite de la Lune.

Ae ou diff. prem. A'e ou diff. sec. Lel4àl2'A(£ = 348-3rir,7 Le 15 à 0' id. = 354 39 19 ,6 "^ ' ^ 2» 35// 9

Le 15à0'53-12",73 +6 4 40 ,8

Lel5àl2\...= 0 44 0,4 ..ciiAr + * ^^ '^

LelOàO'. ...= 65315,0 +^^^^>^

En appliquant la même formule d'interpolation

^ = .,+ .A.,-i^AV^, on a

iTCDB DE LA LDHK. >— DÉTERMINATION DES P»A8ES. 989

(f, s= 354-39' 19",C ; Ae, = 6* 4* 40',8 ; AV„ = + 3* 33%35 ; Af,xJ= + 26' 57",!

AC calculée =355' 6' 9%i4

Calcul de l'ascension droite du Soleil.

Àe ou diff. prcm. A'e ou difT. sec. Lel4à0' = 23*36-37-,43 , ^-^..^

16 W. =23 43 56,35 Jq iû'ia '^'^

d'où e,= 23*40-17',01; A(>,=3-39',34; aV,= — 0*,22;

Ae,J= 8',10

iR0 en temps = 23" 40*" 25',i 1 en degrés = 355* 6' i6",6 Ad calculée = 355* 6^09%4 Dift. en longit. = Qf 7",2

Or^ nous avons trouvé que dans i" le mouvement relatif en ascension

droite du Soleil et de la Lune était de 28' 06'',42^ on aura donc x par lu

relation

""^-^ 28'06V2 - + ^^>^- On a donc,

Époque de la conjonct. en asc. dr. = le 15 mars à 0' 53* 12',734- 15*,6, c'est-à-dire le 15 mars à 0" 53* 28S3. (C'est ce que donne la Connaissance des temps.)

241. Lumière cendrée. — Si un observateur situé sur la Lune observait la Terre^ il trouverait qu'elle possède aussi des phases. A Tinspection de la figare 135» on voit immédiatemmentque les phases de la Terre doivent suivre Tordre inverse des phases de la Lune; par conséquent, lorsque la

290 iSTEONOMlE. — GÉOMÉTRIE CÂtESTE.

Lune est nouvelle ou en conjonctiony la Terre est pleine ou en opposition relativement à cet astre. La Terre doit donc éclairer la partie de la Lune qui est dans l'ombre; il s'ensuit^ alors, que nous apercevons la partie obscure de cet astre sous un aspect grisâtre auquel on a donné le nom de lumière cendrée.

Cette lumière cendrée doit varier dans sa teinte, eu égard aux diflTérents états de l'atmosphère terrestre, qui font que la lumière que la Terre reçoit du Soleil est renvoyée à la Lune et de la Lune à la Terre avec plus ou nK)ins d'intensité.

212. Différentes périodes lunaires, ou mois lunaires. — Nous avons dit que la Lune dans son mouvement autour de la Terre ne décrit pas une ellipse fixe;

Que le plan de cette ellipse a un mouvement autour de Taxe de l'écliptique, mouvement qui produit la rétrogradation de la ligne des nœuds ;

Que le grand axe de cette ellipse a un mouvement direct que Ton appelle mouvement de la ligne des apsides.

Il s'ensuit, alors, que l'on peut considérer le temps de révolution de la LuAe par rapport à des points différents de la voûte céleste.

On peut considérer, en effet,

1"* La révolution tropique, gui la ramène à la même longitude comptée de Véquinoxe mobile;

2* La révolution sidérale, qui la ramène à la même longitude comptée de réçuinoxe fixe ou à la même étoile;

3* La révolution anomalistique, qui la ramène au même point de son ellipse:

A* La révolution draconitique, qui la ramène au même nœud;

5* La révolution synodique ou lunaison, qui la ramène en conjonction avec le Soleil, ou à la même phase.

Le plan de Torbite lunaire étant peu incliné sur le plan de Técliptique, nous supposons toujours que tout se passe dans le plan de técliptique.

Si Ton considère deux époques très- éloignées auxquelles la longitude de la Lune est zéro, par exemple, et que l'on divise le nombre de jours moyens écoulés par le nombre de révolutions effectuées, on aura la révolution tropique 3 on trouve ainsi actuellement,

Révolution tropique = 27* 7*" 43" 4',7

ce qui donne 43* 10' 35''=/ pour le mouvement diurne moyen de la Lune.

Considérons maintenant un point mobile A de Vécliptique; ce point ayant un mouvement diurne m par rapport à Téquinoxe.

Le mouvement moyen de la Lune par rapport au point A sera (/—m);

donc, la Lune reviendra à la même position par rapport à ce point après

360® un nombre de jours représenté par -r ; on aura donc.

ÉTUDE DE LA LUNE. — DES PÉRIODES LU1IAIIIE8, 29i

retour de la Lune

à la même position

par rapport au

point A

retour au point A = révoh tropique + révol. tropique (— — ) .

Si Ton fait successivement dans cette formule :

m = mouvement diurne d'une étoile par rapport à l'équinoxe = ' ,

m = mouvement diurne du périgée lunaire ... :=r 6'41^ m = mouvement diurne du nœud (rétrograde). . =— 3' i0",6, m = mouvement diurne du Soleil = ô^OS^SS.

On trouve :

Révolution sidérale =27* 7Ma-if,5,

Révolution anomalistique. =2ri3M8"37%4,

Révolution draconitique.. = 27' 5' 5- 36',

Révolution synodique =29*12*44'" 2*,9.

Chacune de ces révolutions ne conserve pas une valeur constante ; aussi, c*est leur valeur moyenne que nous venons de donner.

On n'observe du reste réellement, dit Delambre, aucune de ces révolutions qui ne sont pas d'un usage bien fréquent en astronomie.

243. Pour donner une idée du mouvement de la Lune dans l'espace, on indique généralement que cet astre, emporté par la Terre autour du Soleil, décrit une courbe «inti^iae LL'L"L"'L"" (fig. 136), qui rencontre l'orbiteTT' de la Terre en 24 points. Il est bien entendu qu'en voulant ainsi se rendre ' compte du mouvement relatif de notre satellite autour du Soleil, on ne peut le faire en établissant réellement l'équation de la courbe à double courbure qu'il décrit; équation qui constitue le résultat définitif du problème connu sous le nom de problème des trois corps.

C'est en faisant certaines hypothèses, plus ou moins éloignées de la vérité, que Ton peut, dans un traité d'astronomie élémentaire, avoir une idée suffisamment approchée du mouvement de la Lune autour du Soleil.

Ainsi, on suppose que la Terre décrit une circonférence autour du So-

leil, d'un mouvement uniforme, et que la Lune décrit aussi autour de la Terre et d*un mouvement uniforme une circonférence dont le plan se confond avec celui de l'écUptique.

Dans cette hypothèse la courbe décrite par la Lune n*a nullement la sinuosité représentée dans la figure i36, car elle ne possède pas de points d'inflexion.

Prenons^ en effet, pour axe des X la droite menée par les trois astres au moment d'une opposition y et pour axe des y la droite perpendiculaire à celle-ci.

SoitL (fig. 137), une position de la Lune, ^ jours après que la Lune était sur Taxe des â?; on aura évidemment

j y = LD + DP=LD + TQ,

i ar = SQ + QP = SQ + TD.

Représentons par R le rayon de l'orbite terrestre; par r le rayon de l'orbite lunaire; par M le mouvement moyen de la Lune, et par m le mouvement moyen de la Terre; on aura^ d'après les hypothèses précédentes:

LD = r sin Mr, TD = r cos M^ TQ = R sin mt, QS = R cos mt

Substituant ces valeurs dans les équations (i) on trouve

( y = r sin M^ + ^ sin mt, \ x=:rcosMt -{-Rcos mt.

Si Ton pouvait éliminer t entre ces deux équations on aurait Téq nation de la courbe; mais cette élimination n'est pas nécessaire pour le sujet qu nous occupe.

Pour voir si la courbe a des points d'inflexion^ il faut égaler à 0 le se-

cond coefiîcient différentiel ^; comme t est la variable indépendante,

on a

d^y dx d^x dy

d^y 'd^'di~'dôTt

dx' ""

Au moyen des équations (2) on trouve

dx*

r»M' -f R'm' + rRm (M + m) cos < (M ^ m) (rM sin M -|- Rm sin mt)*

ÉTUDE D£ LA LlJNE. — SON MOUVEMENT DANS LESFACE. S93

Les points d'iDflexion, s'ils existent, seront donc donnés par I équation

r*M» + R'm» + rRm (M + m) cos / (M — m) == 0; d'où

cos / (M — m) = ^, ' '

ou, en désignant — par m et - par r',

(3) cos^(M-m) = /f't^' .

La condition pour que ^ soit réel est que le second membre de TéqualioD (3) soit plus petit que 1 ; c'est-à-dire que Ton ait

inégalité qui peut se mettre sous la forme

Si m' est plus grand que r' il faudrait donc qu'on eût m'* < r^^ ce qui est impossible; si m' est plus petit que r', il faut que m" soit plus grand que r"; c'est-à-dire quU ne peut y avoir points d'inflexion qu'autant que r' est compris entre m' et m'*.

Pour la Lune on a m' = 43 environ et r^ = 400; m' est bien plus petit que r'; mais m'* = 169 est encore plus petit que r', donc la valeur de / de l'équation (3) est imaginaire; la courbe n'a donc pas de points d'inflexion et sa concavité est toujours tournée vers le Soleil.

Il n'en est pas de même pour les quatre satellites de Jupiter^ car on a, ainsi qu'on peut le déduire de notre introduction :

Pour le J" m' = 2448 1^ = 1843

PourleS* m' = 1220 1^=1159

Pour le 3* m'= 606 r'= 726

Pour le 4* m '= 259 r'=: 428

Les deux derniers satellites de Jupiter décrivent donc une courbe sinueuse telle que l'indique la fig. 136^ c'est-à-dire ayant des points d* inflexion^

Les deux premiers satellites décrirent comme notre Lune une courbe dont la concavité est toujours tournée vers le Soleil.

Si, malgré l'inclinaison considérable des orbites des satellites de Saturne sur le plan de l'orbite de cette planète, on applique à ces astres la petite discussion que nous venons de faire, on trouve que les quatre premiers satellites de Saturne décrivent des courbes ayant leur concavité toujours tournée vers le Soleil et que les quatre derniers parcourent des courbes qui possèdent des points d'inflexion.

294 ASTEONOHtC ^ GiOMÉTRlE CiLXSTI.

244. Taches de la Lune. — En examinant^ à l'œil nu, le disque lunaire, on le trouve parsemé de grandes taches^ qui ne sont pas comaie œllcs du Soleil périodiquement visibles pendant un certain temps.

Celles de la Lune sont permanentes, et on les retrouve toujours sur son disque à quelque époque que Ton examine rastre.

Si Ton observe la Lune, lors de son premier quartier, avec une lunette même d'un faible grossissement^ on aperçoit dans son bord rectiligne^ des irrégularités permanentes qui prouvent que la surface est pleine de rugosités. On aperçoit de plus, jusqu'à une certaine distance de ce bord, des aspérités et des cavités qui, étant éclairées obliquement par le Soleil, produisent des ombres en rapport avec ces inégalités.

Donc, les taches de la Lune proviennent de certaines parties de la surface lunaire qui réfléchissent moins bien les rayons solaires que les parties environnantes. La surface lunaire peut être alors considérée comme étant couverte d'un grand nombre d'aspérités.

âi5. notation de la Lune. — Ces taches restant constamment visibles pour nous, on en conclut :

Que la Lune^ dans une révolution autour de la Terre, effectue une révolution sur elle-même^ et que^par suite, nous ne voyons jamais qu'un hémisphère de la Lune.

La durée de rotation de la Lune sur elle-même est donc de [9il jours plus un tiers environ.

Si une tache qui nous parait à un instant quelconque, exactement au centre lunaire, conservait constamment cette position centrale^ on pourrait en conclure:

!• Que la Lune tourne autour d'un axe perperuliculaire au plan de son orbite;

2* Que l'angle dont elle tourne autour de cet axe est toujours égal à celui quelle décrit autour de la Terre dans le même temps.

Or, en observant la Lune à difiërentes époques, et en mesurant, à l'aide d'un micromètre, la distance d'une tache aux bords de la Lune, on re^ connaît que les points que Ton considère ne restent pas toujours dans la même position par rapport au contour du disque. Chacun d'eux paraU osciller autour d'une position moyenne.

246. Librations. — Ces oscillations se produisant en même temps et dans le même sens pour les divers points que Ton considère, sont attri-

buées à un mouvement d* oscillation que la Lune tout entière éprouve autour de son centre.

Ce mouvement particulier de la Lune a reçu le nom de libration. On distingue trois sortes de librations qui sont dues à trois causes distinctes ; ces différentes oscillations portent le nom de libration en longitude, libration en latitude et libration diurne.

S47. Libration en longitude. — Nous avons dit que le mouvement de la Lune dans son orbite est irrégulier; l'analogie avec le mouvement de notre globe conduit à supposer que le mouvement de rotation de la Lune est uniforme.

Donc> l'angle dont la Lune tourne autour de son axe est tantôt plus grand et tantôt plus petit que celui qu'elle décrit autour de la Terre dans le même temps; et par suite, un point observé au centre du disque ne paraîtra pas ^ rester et oscillera autour de ce centre dans la direction du plan de l'orbite, direction qui est à peu près la même que celle du plan de récliptique sur lequel se comptent les longitudes.

L'amplitude de la libration en longitude est d'environ 4' âO".

248. Libration en latitude. — L'axe de rotation de la Lune, au lieu d'être perpendiculaire au plan de son orbite, est un peu incliné sur ce plan, et il se transporte parallèlement à lui-même; il s'ensuit alors, que la Lune étant en L et la Terre en T [fig. 138), une tache a apparaîtra audessus ou au-dessous du centre du disque lunaire^ et l'on apercevra le pôle p'. Lorsque la Lune sera venue en L\ c'est-à-dire lorsqu'elle aura bit une demi-révolution autour de la Terre et autour de son axe, le point a se trouvera en a' au-dessous ou au-dessus du centre du disque, on n'apercevra plus le pôle p', mais on verra le pôle p. Ainsi par suite de l'inclinaison de l'axe de rotation de la Terre sur le plan de Vorbite^ les taches de la Lune éprouveront un mouvement d'oscillation perpendiculaire au plan de l'orbite, c'est-à-dire à peu près perpendiculaire au plan de l'écliptique. Cette libration a été nommée, pour cette raison, /thratûm en latitude, son amplitude est d'environ S' 35''.

Fig. 138.

îkd. inclinaison de Vaxe de rotatiori de là Luné sur Ncliptique. — Par l'observation de cette libration, on a déterminé l'angle que fait Taxe dé rotation de la Lune avec une pei*pendiculaire au plan de l'orbite. On a

ASTRONOMIE. — GéOMETRlB CÉLESTE.

trouvé que cet angle est d'environ 6* 37'; par suite, rinclinaison de l'txe de rotation de la Lune sur le plan de Pécliptique est d'environ i"^^.

250. L'axe de rotation de la Lune ne reste parallèle à lui-même que pen* dant une révolution de la Lune autour de la Terre. — En effet, l'observation prouve que la libration en latitude conserve toujours la même valeur, donc. Taxe de rotation conserve toujours la même inclinaison sur V orbite lunaire dont le plan se déplace dans l'espace; il faut, alors, que cet axe de rotation décrive, dans une période de 18 ans deux tiers, une surface conique autour d'une perpendiculaire à Técliptique.

iM. Libration diurne. — Les librations dont nous venons de parler, sont celles considérées du centre de la Terre.

Un observateur situé à la surface de la Terre en A (fig. 139)^ et que nous supposerons à l'équateur pour rendre l'explication plus facile, verra un peu après le lever de la Lune L une tache a située sur la ligne TL un peu au-dessous du centre du disque apparent.

Fig. 139.

Lorsque la Lune passera au méridien, au zénith par exemple, l'observateur verra la tache a sur le centre du disque, et enfin, quand la Lune sera sur le point de se coucher en L', l'observateur verra la tache a' un peu au-dessous du centre du disque apparent.

Ce mouvement de la tache dû au mouvement diurne de la Terre, qui se modifiera suivant la position de l'observateur, prend le nom de libration diurne: Tamplitude de cette libration est d'environ 32".

Les trois librations dont nous venons de parler existant simultanément, il en résulte pour chaque tache de la Lune, un mouvement composé qui est celui que Ton observe réellement.

ÉTUDE DE LA LUNE COnÎsIDÉRÉE EN ELLE-MÊME.