AT
rxTS
d'où
par suite,
Mettant cette valeur de AT dans la relation qui donne KAT^ on a
On a donc, enfin, par substitution, et en représentant par A' Tangle sous lequel on voit du centre de la Terre le rayon du disque de pénombre,
A' = P + />+D, ou, d'après Tobie Mayer,
Nous avons trouvé pour le rayçn du disque d^ombre pure
On a donc,
c'est-à-dire que la différence entre les rayons apparents des deux disques est égale à peu près au diamètre du Soleil.
Ainsi, la Lune peut être tout entière dans la pénombre sans être encore dans lombre pure.
862. Détermination de l'orbite relative. — Puisque la Terre se transporte autour du Soleil, l'ombre de la Terre a un mouvement de translation.
Mab la Lune ayant aussi un mouvement autour de la Terre, il s'ensuit que de la combinaison de ces deux mouvements, il en résulte, pour la Luney un mouvement relatif que Ton peut seul considérer, si l'on suppose la Terre immobile.
Soient CC (fig. 449) l'écliptique, S la position du centre du disque d'ombre pure au moment de l'opposition, NN' l'orbite de la Lune, L sa position au même instant. La latitude de la Lune est à ce moment LS.
Une heure après, le centre du disque d'ombre est venu en S', SS' étant égal au mouvement horaire m du Soleil, en longitude.
La Lune est venue en U, son mouvement horaire sur Vécliptique ou en, longitude est SD = M.
Fig. 149.
Donc, le mouvement horaire relatif de la Lune, en longitude, est SD = M — m.
Mais, si Ton mène SL, parallèle à SX', et L'L, parallèle à ND, on peut, évidemment, considérer le disque comme étant fixe en S, pourvu que Too regarde la Lune comme ayant parcouru, en une heure, le chemin LL,.
La ligne N"LL, prend le nom d'orbite relative. La valeur de son inclinaison a sur Vécliptiquc est donnée par la relation
tangL,N"D = ^ = ^l^ = tan8..
En représentant par / le mouvement horaire de la Lune en latitude f I mouvement horaire h de la Lune sur son orbite relative est donné par Téquation
LL, = \l' + (M — my = ^LzJl = h.
* ^ ' COSa
2(53. Calcul de Vinslant du milieu de Véclipse. — Nous pouvons donc, maintenant, considérer le centre du disque d'ombre et du disque de pénombre fixe en S (fig. 150); par suite, le milieu de Téclipse aura lieu quand la Lune sera en E sur la perpendiculaire SE à Vorbite relative. Admettons que LL, représente le mouvement horaire de la Lune sur Torbile relative; comme dans un petit intervalle de temps on peut admettre que le mouvement relatif de la Lune est uniforme, on aura, en appelant T le temps écoulé entre le milieu de l'éclipsé et Cinstant de l'opposition,
T LL LS sin a cos a
r "■ LLJ "■ M — m *
Et comme LS représente In latitude X de la Lune au moment de l'opposition, T sera déterminé.
CALCUL DES PHASES D'ONfi ÉCLIPSE DE LUNE.
264. Calcul des instants des différentes phases du phénomène. — Connaissant actuellement Tépoque du milieu de Téclipse en E, nous allons y rap- |)orter les autres phases du phénomène, en ne considérant 5 toutefois, que ce qui a rapport au disque d'ombre pure.
Lorsque le disque de la Lune en L< (fig. 450) est tangent au disque d'ombre^ on dit que Vimmersion commence.
Fig. 150.
Pour trouver cet instant^ on a d'abord dans le triangle EL^S la relation
EL," = SL/ — ES* = SL/ — X« cos' a .
Ou , en représentant toujours par A le rajon du disque d'ombre que nous avons trouvé être égal ^ ^ (P + P — ^)>
d'où
EL/ = {A + rf)« — X»cos»a,
EL< = v'(A + rf — Xcos«)(A+rf + Xcos«).
On aura ensuite, en appelant t le temps qui s'écoule entre l'instant de Timmersion et le milieu de l'éclipsé^
t EL,
et; par conséquent, si t est exprimé en secondes.
3600' cos a ,
Cette valeur de t est à ajouter à Tépoque T du milieu de Téclipse si 1 on considère la fin de Téclipse, c'est-à-dire Tinstant où Vémersion est complète^ la Lune étant en U,-.
Si Ton voulait connaître l'instant où la Lune est complètement entrée dans le cône d'ombre, ou celui où elle va en sortir, il faudrait, dans la fo^ mule précédente, remplacer A -}- <^ par A — d.
Pour déterminer les circonstances du phénomène quant à la pénombre, le calcul est identiquement le même que celui que nous venons d'indiquer; il faut seulement remplacer, dans la relation qui donne /, A par A' rayon du disque de pénombre, et les mouvements horaires M et m par ceux qui correspondent aux instants cherchés, dont on peut avoir une valeur approchée à l'aide d'une construction graphique, ainsi que nous allons le dire.
265. CDnstruction graphique, — On peut déterminer graphiquement les circonstances du phénomène lorsque, préalablement, on a tracé récliptique ce (fig. 150), le cercle représentant le disque d^ ombre pure^ celui représentant le disque de pénombre et l'orbite relative LLj, au moyen de la latitude de la Lune en L au moment de l'opposition, de sa latitude L^P et de son mouvement relatif en longitude SP une heure après.
Il suffit alors, de décrire du point S comme centre, d'abord avec des rayons égaux à A + rf et A — d, deux circonférences qui coupent l'orbite relative LL^ aux points L„ L'., U, et L,; et ensuite, du même point S avec A' + rf et A' — dy deux autres circonférences qui coupent l'orbite LL, aux points Lp, L'p, Lq, L'^. On prendra les projections K, F a, b, b\ a', F', K'de ces points sur l'écliplique, et en évaluant au moyen d'une échelle de parties égales, les longueurs SK, SF, Sa, S6, Sb', Sa', SF, SK' en fonction de SP, mouvement en i heure, on aura les quantités horaires à retrancher ou à ajouter à l'époque de l'opposition pour avoir les instants des phases principales du phénomène^
L'instant du milieu de Véclipse se détermine en évaluant sur l'échelle la distance de e, projection de E, au centre S.
266. Détermination des lieux de la Terre ou une éclipse de Lune est vi-» sible, — Pour déterminer les lieux de la Terre où une éclipse de Lune est visible, cherchons d'abord la latitude L et la longitude 0 du lieu qui, à une époque t (temps moyen de Paris), a la Lune au zéniths Supposons, par exemple, que t soit l'époque du milieu de l'éclipsé.
Soient PZQP'Q' (fig. 15!) le méridien supérieur de Paris, v le point vernal, L la position de la Lune,
