CALCUL DES OCCULTATIONS D'ÉTOILES PAR LA LUNE
centre de ce cercle sur les divers points qu'occupera le centre de la Lune sur le globe céleste^ on reconnatiles étoiles dont l'occultation est possible.
Lorsqu'une étoile doit se trouver très-près du disque lunaire, sans que cependant elle soit éclipsée^ on dit qu'il y a appuhe.
Le calcul des phases d'une occultation d'étoile ou de planète par la Lune peut se faiiSc identiquement de la même manière que le calcul d'une éclipse de Soleil et au moyen des mêmes formules que celles que nous avons indiquées. Seulement, ces formules se simplifient beaucoup parce que les étoiles n'ont ni parallaxe, ni demi- diamètre ^ ni mouvement horaire appréciables. Dans les formules relatives aux éclipses de Soleil, on peut alors faire ces quantités égales à zéro. Pour les planètes, leur mouvement propre étant excessivement petit par rapport au mouvement propre de la Lune, ainsi que nous allons le voir plus loin, les formules peuvent aussi se réduire.
294. Nous croyons utile, au sujet des occultations d'étoiles par la Lune, de donner la démonstration de la méthode de Bessel, dont on trouve depuis 1863 le type du calcul dans la Connaissance des temps.
En employant les notations de Bessel, désignons par
A ascension droite apparente, )
D déclinaison apparente, j
a ascension droite vraie,
8 déclinaison vraie,
Tt parallaxe équatoriale,
p demi-diamètre horizontal,
a ascension droite apparente,
c' déclinaison apparente,
p' demi-diamètre apparent,
(A temps sidéral,
ç hauteur du pôle,
o' latitude corrigée,
r distance au centre de la Terre,
de l'étoile occultée;
de la Lune;
au lieu de l'observation.
Fig. 168.
Soient L (tig. i68], le centre apparent de la Lune, p le pôle élevé de l'observateur et P la position apparente de Tétoile à un moment donné.
Faisons passer un arc de grand cercle par l'étoile P et par le centre de la Lune L, et menons les cercles de déclinaison des deux astres. Nous formons ainsi le triangle sphérique PL/> dans lequel nous
posons
LP = i:.
Désignons par P l'angle à l'étoile pPL; cet angle étant compté de 0 d
ÀSTHONOMIE. — GÉOMÉTRIE CÉLESTE.
360* sera compris entre 0* et 180* quand a' sera <A et sera compris entre 480* et 360* quand a! sera > A. Le triangle pLP donne les trois relations
sin£sinP = — cosS'sin(a' — A), sinScosP = sinS'cosD — cosS'sinDcos(a' — A), cos£ =:sinS'sinD + cosS'cosDcosCa' — A),
dont la seconde est une combinaison de la première avec la formule connue des quatre éléments consécutifs hp, L/}P, p? et P.
Pour exprimer actuellement le lieu apparent de la Lune en fonction du lieu vrai, soient C (fig. 169), le centre de la Terre, ^"CY le plan de l'équateur, vC la ligne des équinoxes, et CZ, CY et Ct trois axes de coordonnées rectangulaires; soient aussi o la position de Tobservateur, oZ\oY', (t/ (rois axes rectangulaires parallèles aux premiers.
Soit enfin L la position de la Lune; joignons Co et CL, et projetons L en X et V sur les plans des vY et des vY'. U est évident que
LoV = 8' VW = a' LCX = « VCX = a oCo' = (p' et o'Cv = ji
Si nous j!>ro;>lofi5 les côtés du triangle CoL sur l'axe des Y, nousauroos d'après le théorème des projections et en désignant Co par r
oLcoso'sina' = CLcosSsina — rcosf'sin ji
ou
càlcitl des occultations d'étoilbs par Là lune. 359
oL i
pr-cos8'sina' = cosSsina — rcos^'sinjji — ; CL CL
mais si nous prenons le rayon équatorial pour unités on a
et en posant
oL
il vient
AcosS'sina =cosSsina — rcos(p'sin[Jksinic.
En projetant les côtés du même ti*iangle sur Taxe des X et sur l'axe des Z, on aura deux autres relations analogues
AC0s8'C0Sa'= COsScOSa — r COScp'siuicCOS (Ji^
AsinS' = sinS — r sintp'sinic.
Ces trois relations introduites dans les formules (i)^ permettront d'éliminer de ces formules a' et $'.
Cette élimination s'effectue facilement en multipliant par A chaque membre des équations (i) et en développant dans le second membre sin (a' — A) et cos (a' — A) ; on arrive ainsi aux relations suivantes :
^AsinSsinP = — cos8sin(a — A) + rcos<p'sinicsin({ji — A), AsinScosP = sinScosD — cos S sin D cos (ot — A) (i) ^ — r sin ir [sin <p' cos D — cos<p'sinDcos([Ji — A)], AcosS = sin6sinD + cos 8 cos D cos (a — A) — r sin Tc [sin o' sin D + cos<p'cosDcos{{Ji — A)].
Au commencement et à la fin d'une occultation on a évidemment
et comme on a aussi
A sin p' = sin p, il vient
A sin £ = sin p.
Au moyen de cette relation , le demi-diamètre apparent de la Lune disparaît des deux premières formules (2) quand on les applique au calcul d'une immersion ou d'une émersian.
Pour ces phases, on a donc les deux relations
..V jsinpsinP = — cos8sin(a — A) + rco8<p'8inicsin(ti — A), ^' )sinpcosP= sin 5 cos D — cos 8 sin D cos (a — A),
— r sinTc[sinf'cosD — cos<p'slnDco8(|A — A)].
La troisième formule des relations [î] ne sert qu'à reconnaître, dans le cas général , si l'on doit prendre S ou 180 — £, et dans les phases que nous considérons, si l'on doit prendre p' ou 180 — p'; on peut donc, daus ce dernier cas, la laisser de côté.
Si nous divisons les formules (3) par sin r. et si nous posons -r-^ =
k = 0,2725 d'après les tables de Burckhardt, nousK)btenons
i, . cososinfa— A) , , . ,
AsmP = -ri- -' + r cos^'sm(fi — A), smi:
, p sin8cosD — cos8sinDcos(a— A) K COS » — . smit
— r [sin (p' cos D — cos ç' sin D cos ((& — A)].
Ces formules se composent de deux parties distinctes dont la seconde seule se rapporte au lieu de l'observation.
Si nous faisons la somme des carrés des deux équations (4], nous obtenons la relation
iu\ M rcos5sin(« — A). ,. , .n*
(5) k^=^ ^^ ^ — rcosç'sin(fi — A)J +
, IsinScosD— cosSsinDcos(a— A) , , , ^ , . ^ , ,V
+ j : — r[smç cosD— cosf smDcosdi— A)]|
que l'on peut considérer comme ne renfermant plus que les temps de l'immersion et de rémersion comme inconnue.
L'équation (5) prise sans restriction doit satisfaire aux temps d'une m^ finité d'immersions et d'émersions de l'étoile. Comme elle est transcendante elle ne pourrait être résolue que par tâtonnements ou par la méthode des approximations successives.
Supposons que les quantités a, S, n, ^ soient connues à une époque T temps moyen de Paris, assez voisine de l'époque T -f- ^ de l'immersion ou de l'émersion relative au lieu considéré, pour que l'on puisse convertir le second membre de l'équation (5) en séries rapidement convergentes. L'époque T considérée dans la Connaissance des temps est à peu près l'époque temps moyen de la conjonction en ascension droite à Paris.
Posons alors, d'après le théorème de Maclaurin, les expressions
cos 8 sin (ot- A) „ . ., , . t^ sin 5 cos D — cos 8 sin D cos (a — A) . , . ^ /*
,^, iûr; =î+î< + îO'
rcostp'siD((t — A) = i»-|-«'<4- ««" — Xf
^rsm^'cosD — rcosf sinDcos(ii— A) = i; -j- i/r + ^"j'i»
CALCUL DES OCCULTÂTiONS D*ÉTOILE PAR LA LUNE. 361
dans lesquelles p, q^ UyV... sont les valeurs des premiers membres considérés pour ^=0, c'est-à-dire calculés pour l'époque T; p\ q\ w', v' les premières dérivées de ces premiers membres, prises par rapport au temps et calculées pour l'époque T; et ainsi de suite.
Comme la détermination à faire n'exige pas, pour le but que Ton se propose, la plus grande précision, on peut négliger les termes en t* et suivants : on peut aussi, dans le calcul des dérivées p', q\ u' et v\ négliger les variations de cos8 et de ic; de plus, comme au moment d'une immersion on d'une émersion, la différence d'ascension droite des deux astres est trèspetite, nous pouvons poser sin (a — A) = (a — A)sinl"et cos(a — A)=l,
c'est-à dire substituer au premier membre de la première
relation (x)> et au premier membre de la seconde de ces relations;
on trouve donc :
et — A ç, [ , cosS da
u = r cos (p' sin {\k — A), w'= r cos cp' cos (i*' — A) -J^y
v=rsinç'cosD— rcos<p'sinDcos(ii' — A), e;'=rcosç'sin(tA' — A)sinD~.
(&' est l'heure sidérale du lieu se rapportant au temps moyen T de Paris. En posant
nous prendrons pour X la variation en 1 heure temps moyen, de Theure sidérale d'un lieu réduite en degrés; on a donc
puisqu'on a la relation suivante^ qui se déduit de la table VI de la Connaissance des temps y
ih t.m. = (1^ 4- g-jSSe) temps sidéral.
X étant évidemment une longueur, dans les relations u' et v', on a, en réalité
X = 54147",84sinl", d'où
logX = ï,44916.
Enfin, en considérant comme constants les mouvements en ascension droite et en déclinaison de la Lune aux environs de l'occultation^ nous prendrons pour
Tt '' Tt
les mouvements horaires de la Lune en ascension droite et en déclinaison.
Si nous posons actuellement,
Ia = r.cos <p' sin {\i' — A), b = r .cos ^' cos (ji' — A), c = r sin ©' cos D, on aura
^^^J it; = c — 6sinD, t/ = ûXsinD.
On pourra calculer^ d'un même coup, r cos f ' et r sin (p'^ car à cause de la relation
tang<p' = tangç(l — p)%
que nous avons donnée (208), on obtient, en introduisant l'excentricité e au lieu de l'aplatissement terrestre p,
cos o cos 9
cosf = = ' ,
y cos* <p + sin* <p (1 — e*) y^l — c* sin* <?
et
On a aussi
1 — e« sin 9 Vi— e»sin»«p
r = a — apsin'^p;
on trouve donc en faisant a z= i et en négligeant aux numérateurs le terme en sin* f,
, cos 9 . , (1 — e*)sin9
rcos9'= ^ — , rsmç = ^ ~.
VJ — c* sin* 9 v^l — c* sin* 9
ou en posant e sin 9 = sin 6,
(H) [rcos,' = 3,rsi„,' = (L=£)lango].
On voit donc comment, à l'aide des relations (7), (8), (9), (40, et (H;\ on pourra calculer» pour l'heure T temps moyen de Paris > les quantités
Pp P'f ?> 9'j w> ^'y ^ «^ ^'•
