ÉTUDE DU MOCVEMENT DES PLANÈTES

320. Détermination de V excentricité. — On pful déterminer d'une manière approchée, Texcenlricilé de l'orbite planétaire, ainsi que le demigrand axe, par la considération des valeurs maximum et minimum de la distance de la planète au Soleil. Si Ton appelle, en effet, H et H' les valeurs maximum et minimum de S/>, c'est-à-dire lorsque la planète est aphélie et périhélie y on a

R = a(l+e), R' = a(i-e), d'où

R i + g R ""1 — e* et, par suite,

On détermine aussi a, par la relation évidente,

Vérification de Vellipticité de Vorhite planétaire, — Une fois que Ton a déterminé e et a et la valeur de l'angle Q SP = co au moment du passage de l'astre à son périhélie, comme nous le verrons tout à l'heure, l'équation polaire de la courbe donne, pour un autre moment, lorsque QS/> = n.

1 + ^ cos (n — to)

En comparant cette valeur de r à celle de S/> correspondant à l'angle QS/> =3 n déduite du triangle /S/> (fig^^ 187], ainsi que nous venons de le faire, on trouve qu'elles sont identiques; ce qui prouve bien Vellipticité de Vorbite planétaire.

Détermination des éléments nécessaires à la connaissance de Vorbite d'une planète»

321. Maintenant que nous venons de reconnaître les lois du mouvement <t*une planète inférieure, nous allons voir comment on peut déterminer les éléments qui distinguent entre elles les orbites planétaires, éléments qui sont au nombre de six.

Nous admettrons d*abord que par les moyens que nous venons d'indiquer, on ait déterminé :

V La longitude héliocentrique du nœud 0 ;

2" L'inclinaison de Vorbite sur le plan de Vécliptique <j>.

400 ASTRONOMIE. — GÉOMÉTRIB CÉLESTE.

Ces deux éléments fixent la position de Vorbite par rapport au plan de Vécliptique.

La position de V ellipse dans son plan, sa forme et sa grandeur seront déterminées par :

i' L'angle to que fait le grand axe avec la ligne des nœuds;

2** V excentricité e;

3" La grandeur du demi-grand axe a.

Ces (rois quantités peuvent s'obtenir à l'aide de trois observations de la planète, quand on connaît l'inclinaison de Vorbite sur Vécliptique et la longitude du nœud.

Supposons que nous ayons calculé^ comme nous Tavons dit, trois positions de la planète dans le plan de son orbite, à Caide des coordonnées r et QS/) = n.

De l'équation polaire de Tellipse, on déduit les trois équations:

fl (i — c«)

I + e cos (n — co) ' a(i— e*)

i4-^cos(n' — «)'

.. __ fl(i — o

^ ""i+^cos(n''— ù))'

dans ces trois relations il n'y a que a>, e et a d'inconnues^ on peut facilement les déterminer.

Troisième loi. — En déterminant ainsi les éléments elliptiques des deux planètes inférieures que Ton observe, on trouve que si l'on représente par a le demi-grand axe de Torbite de l'une de ces planètes, par a' le demigrand axe de Torbite de l'autre, par T le temps de révolution de la première autour du Soleil, par T le temps de révolution de la seconde autour du même astre^ on a la relation

H — fl

c'est-à-dire, que les carrés des temps de révolution sont entre eux comme les cubes des demi-grands axes; nous verrons que cette loi s'étend à toutes les planètes.

Détermination de l'époque du passage de la planète au périhélie.

32^. Par la méthode que nous venons de donner, l'ellipse que décrit la planète dans l'espace est bien fiiée de position^ de forme et de grandeur; mais il reste encore à savoir comment cet astre décrit cette ellipse, tout en suivant la loi des aires.