DÉTERMINATION DES ÉLÉMENTS ELLIPTIQUES
327. A Taide de la méthode de Gauss que nous avons indiquée, on pourra déterminer les six éléments de l'orbite de la planète supérieure^ au moyen de trois observations n'embrassant pas un intervalle trop grand.
PRÉDICTION DE LA POSITION D UNE PLANÈTE DANS LA VOUTE CÉLESTE, A UN MOMENT DONNÉ, OU CALCUL d'uNE ÉPHÉMÉRIDE.
3S8. — Supposons que 1*od connaisse :
n le mouvement moyen de la planète;
M l'anomalie moyenne de l'époque T;
e rexcentricité, ou t) Tare dont le sinus = «;
ic la longitude du périhélie ;
<P rinclinaison de l'orbite;
0 la longitude du nœud ascendant;
a demi grand axe de Tellipse.
ic et 0 sont rapportésii Téquinoxe moyen d'une certaine époque.
On veut connaître la position apparente de la planète, dans la voûte ce- Ipsle, à l'époque T.
Voyons d'abord comment nous pourrons déterminer, pour l'époque considérée, la position de la planète dans son orbite.
Calcul de Vanomalie excentrique u.
En posant /=T' — T, on aura nt pour mouvement en anomalie moyenne effectuée dans l'intervalle t.
On a^ par suite^ la relation
n/ + M = w ^—77/ sm w,
sm 1
d'où
^ sml
En faisant d'abord u = nf -f M dans le second membre de cette expression, nous obtiendrons une valeur approchée u' de u;
t/ = n/ 4- M + -Att; sin (M -f n/). 'sml' *
Si nous posons
u = u' + x et ♦ = ^,i'--J^sinii')-(nr + M),
CALCUL DUNE ÉPHÉMÉP.IDL DE PLANÈTE. 405
nous savons que nous aurons x par la relation
1 — ecos u'
Il sera bon de vérifier l'expression
I — e cos M
en voyant si Ton a exactement
•(''"~iiiïr''°"")"^"' + *'^ = ^'
Si le premier membre, au lieu d'être nul, était égal à ^\ on obtiendrait une valeur u'* plus approchée de u par la relation
' 1 — e cos u"
Exemple.
Supposons que nous ayons les éléments elliptiques suivants :
Anomalie moyenne M le 25 septembre
à œ, temps moyen de Paris, = SP 35' 3", 33
ic =330 40 51 , 2 j comptées de l'équinoxe
0 =166 46 55 ,89) moyen du i" janv. 1860
ff = 6 24 40
-n (angle d'excentricité). . = 13 1 10,37
log a =0,4208695.
On demande l'anomalie excentrique u pour le 12**'**,5, temps moyen de Paris.
Ona
n= 82y',284 cMog8inl"'= 5,3144251
fi^=— 2o52'46",05 M +nt= 18*42'17",28 logsin = ï',5060886
-T^sin(M+wO= 4' 8'22",26 log sin ij = 1,3527384
tt'= 22«50'39",54 log-^,sin(M+nO= 4,1732521
406 ASTROKOMIE. — GÉOMÉTRIE CÉLESTE.
Détermination de *.
logsinu' = 1,5890874
cMogsinl'' = 5, 3144231
log8in»i = 1,3527384
log -A-, sin ««' = *. 2362309 sinl'
-l-sinit'= 5""00'40",89 sin 1
«• ^ siD «' = 17 49 58 ,95
sin
*= 52*18 ",33 log = 3,49«6981
log sin Ti = 1,3527384 logcostt'= 1,9645251
loge ces M'=r, 3172635 ecostt' = 0,207617 l—ecosu'= 0,792383 c'log=0,1011ft48
log x = 3,5977629 x= 1* 6' 0",62 u' = â2 50 39 ,54
«"=23 56 40 ,16 En vérifiant celte valeur de u" on trouve
♦' = 3",38, et par suite, pour correction de u", au moyen de la formule
i — ecosK*^ on obtient
x' = — ^^ase,
et de là
Celte valeur vérifiée donne
CALCUL D*UNE ÉPHÉIlÉniDE DE PLANÈTE. 407
et par suite
x'' = + 0,012, d'où enfin
qui satisfait complètement à la question.
329. Calcul de Vanomalie vraie V, du rayon vecteur r, de la latitude héliocerUrique s et de là longitude héliocentrique Vj dans l'écliptique. En désignant par v la longitude vraie dans Torbite, on a
Les formules (147) qui donnent à la fois le rayon vecteur et l'anomalie vraie deviennent, en remplaçant V par t; — r,
(2) vr sin - (t; - r) = v^îïsin Uo* + 5\ sin - m,
(3) v^r cos - (t; — r) == v^ COS U5» + 1 j C08 -«.
Pour avoir dans le même calcul les quantités s et v,, considérons Técliptique vE (fig. 191), Torbite oo' de la planète que nous supposerons en p à répoque considérée. Soit pk un arc de grand cercle perpendiculaire sur l'écliptique. Dans le triangle ^•K*«*- QpkonsL
" pk 3= 5.
Ce triangle nous donne les relations
(4) sin 5 = sin [v — 6) sin ç,
(5) cos (Vj — 0) cos 5 = cos (« — 6),
(6) tang (t;, — 6) = tang (» — 6) cos<p ;
ou en multipliant entre elles les relation (5) et (6),
(7) sin (rj — 6) cos s = sin [v — 0) cos <p.
A Taide de ces équations on déterminera v,, logcoss, logr, logsiù idônt nous aurons besoin pour calculer les latitude et longitude géocentriques de la planète, ainsi que sa distance à la Terre.
408 Ai>TRO.NOMIC — GÉOMÉrniC CÉLESTE.
On forme d'abord les deux constantes
V^2^ sin U5- -f ^) et \ ^ cosU^' + ^ j ;
puis au moyen des formules •^] et (3,, et en employant la valeur de u trouvée précédemment, on aura
iog vr sin -{v — r.) et log \^r cos - (e; — r ;
la différence de ces deux logarithmes donnera le log tang -{v — ;:}, d'où l'on déduira - [v — ir) et par suite t; — ic= V. En retranchant ensuite du log ^r sin - [v — r) le log sin - (i; — ^r), on
aura log y/r, d'où le logr et enfin r si on le désire. D'après la formule (7) on aura
(7 bis) log[hin {v^ — 6) cos s] = logsin(r — B) + log cosç.
En ajoutant ce logarithme au complément du logcos (v — 0) qui, d'après la formule (5), est égal à comp* log[cos(i;j — 6)cos5], on aura le log tang (v, — 6), d'où Ton déduira i;, — 6.
En retranchant le logsinft;, — 6) du log[sin(i;i — 6)cos«], on aura logcoss; et enfin la formule (i) donnera le logsin«.
Exemple.
Avec les mêmes éléments elliptiques que précédemment, considérons la valeur
tt = 23" 56' 35^916
que nous avons trouvée; on a
r^ = 13o l'ir,37,
