MÉCANIQUE CÉLESTE

381. Maintenant que l'étude de la géométrie céleste nous a appris a trouver les lois des mouvements planétaires, nous pouvons nous demander si ces lois ne sont pas les conséquences d'un principe actif général qui force tous les corps célestes à suivre un mouvement déterminé.

Newton a résolu cette grande question, et nous allons voir quelles sont les conséquences qu'il a dédiâtes des lois de Kepler.

Conséquences des lois de Kepler. — Rappelons d'abord l'énoncé de ces trois lois en les classant dans l'ordre suivant :

!• Les aires décrites par le rayon vecteur dans des temps égaux sont égales;

2* L'orbite de la planète est une ellipse dont le Soleil occupe un des foyers;

3* Les carrés des temps de révolution des planètes sont entre eux comme les cubes des demi-grands axes.

382. Conséquence de la première loi. — Soit mm' (fig. 212), l'élément rectiligne décrit par la planète dans le temps dt.

Si la planète n'éprouvait aucune force

*'»«• ***• perturbatrice, dans l'instant dt qui suit,

m' elle décrirait m'n = mm'; de telle sorte

F// que les triangles mSm', m'Sn seraient équij^» valents.

Mais, dans le second instant, la planète décrit l'élément m'm", de manière toutefois que le triangle m'm^S = mSm' = m'Sn.

[Loi des aires, ) Les triangles m'Sm" et m'Sn ont môme base m'S; or ils sont équivalents, donc ils ont même hauteur; donc nm" est parallèle à n'm\ Mais m'm" représente, en grandeur et en direction, la force résultante qui agit dans le second instant; l'une des composantes est évidemment

Fip 213.

représentée par Télément m'n, donc, Tautre composante est dirigée suivant n'm; c'est-à-dire qu'elle passe par le Soleil.

Donc, la force qui retient la planète dans son orbite est dirigée vers le centre du Soleil.

Nous allons arriver au même résultat en nous servant des équations générales du mouvement dans un plan.

Soient S le Soleil (flg. 213), oo' une portion de l'orbite que décrit la planète.

Prenons deux axes rectangulaires SX et SY passant par le Soleil, l'axe des X se confondant en outre avec la ligne des apsides.

Les coordonnées d'une position P de la planète seront

SD=a:, PD = y.

Considérons les composantes PX=X et PY = Y de la force qui retient la planète dans son orbite.

Si m représente la masse de la planète, les équations générales du mouvement seront

d^ dt''

dt*

Multiplions la première de ces équations par y et la seconde par x, et fdisons-en la différence, on aura

v^ y xd^y—yd^x d[xdy^ydx)

^ dt^ dt*

iMais on démontre, en analyse, que xdy — ydx est le double de Taire décrite dans l'instant dt', c'est alors une quantité constante, d* après la première loi de Kepler; donc sa différentielle est nulle, et, par suite, on a

Yx — Xy=rO ou Y = ~'

La résultante des deux composantes X et Y est donc dirigée suivant PS; c'est-à-dire passe par le Soleil.

383. Conséquence de la deuxième loi. — En multipliant la première des équations générales du mouvement (a) par dx et la seconde par dy, et en faisant leur somme, on a

^ ^ dt^ 2 dt*