CONSÉQUENCES DES LOIS DE KEPLER

Si nous appelons <p l*angle PSX et F la force dirigée vers le Soleil et dont les composantes sont X et Y, on a, en représentant PS par p

x = pcos9, X = — Fcostp,

y = p sin <p, Y = — F sin «p.

'De ces équations on déduit

dx' + dy' = rfp« + p*rf(p% Xdx + Yrfy = — Frfp.

Substituant dans Téquation (6), on a

^ ^ ^2 dt*

Si l'on appelle C l'aire constante décrite par le rayon vecteur dans Tunité de temps^ on aura la relation

d'où

Substituant dans (c), il vient

p»dç»

ou

Or, d'après la seconde loi de Kepler, on a, en supposant que SX se confonde avec la ligne des apsides.

i 4-ecos<p

De laquelle on déduit, par une différentiation,

/ dp \* e'sin'tp e' — e'cos'<p

Mais de cette même relation (e) on déduit aussi,

««COS'ç=(-î^ —\) = ; 1-^«

On a donc

/ Jp y g' 1 2 1 1

Vp«(/^/ — a«(i-e«)« p« + û(l — e«)*p û«(l-e»)*' on

Substituant cette valeur dans Téquation (d)y il vient

-Fdp = 2mC«rf f — -^ X - - -TTT^— ^^ • \a(l — e*) p a'(l — c )/

c'est-à-dire, en effectuant la différentiation et divisant les deux membres par rfp,

Mais G, a, e, m sont constants, donc la force accélératrice — varie en

raison inverse du carré de la distance de la planète au centre du Soleil, Telle est la deuxième conséquence.

384. Conséquence de la troisième loi. —Nous venons de trouver la relation

m~"fl(l — c*)^p«

Or il est clair que puisque G est l'aire décrite dans l'unité de temps, en appelant T le temps de révolution de la planète, on aura rexpression

GxT = ira6 = ita«v/i— e*, d'où

G* __ iz'a* a(l— e')"" T« ' et. nar suite, il vient

3 autre planète, on a aussi

El — 1 t^' 1

û* a'* remarquant que d'après la troisième loi de Kepler ^^^^^,