LE PRINCIPE NEWTONIEN CONDUIT AUX LOIS DE KEPLER

équation dans laquelle nous reconnaissons Véquation polaire d'une section conique.

DiSGClSSlON.

Nous avons trouvé

nous avons aussi

on déduit de ces deux relations

« ~ • 77' d'où

Des relations (n) et (m) on déduit aussi

Ainsi y le demi-grand axe a et Texcentricité e de la section conique sont déterminés en fonction de

V^^ vitesse initiale de la planète m; p^y dbtance initiale de cet astre au corps attirant M; f, quantité qui dépend de Vintemité de l'attraction et des masses m et M.

Nous voyons que si C est < 0, ou a « < I .

Donc la section conique décrite est une ellipse. Comme 0' = V'^ — —^

il s'ensuit que la constante a est positive, ainsi que cela doit être pour que l'équation (ia) représente une ellipse^ et pour que C soit réel.

Si C est égal à zéro, c'est-à-dire si V*^^ =-i-, on a « = 1 et a = qo, la

section conique représente une parabole.

Enfin, si C est > zéro, c'est-à-dire si V*^ > -^, on a e > i et a në-

gatif, l'équation ((&) est donc

i-f-ecos(<p — a)

474 ASTRONOMIE. — 50TI05S DE 11ÉCA2I1QCE CÉLESTC.

Cette équation ne représente évidemment qn'ane Meule branche d'hyperboUy celle dans rintérieur de laquelle se trouve le foyer M. La relation (n)

nous montre, en effets que, dans ce cas, C ne peut être réel que lorsque a est négatif.

Toutefois, nous pouvons remarquer que si V attraction se changeait eo répulsion agissant suivant les mêmes lois^ f devenant négatif, a serait /x»!tifei^ dans ce cas, e étant toujours plus grand que i, la courbe décrite ne pourrait plus être ni une ellipse ni une paraboley mais l'autre branche d'hyperbole représentée par TéqUation

' i + tf COS («p — a) '

et qui est celle dont le foyer n'est plus dans Tintérieur de la courbe.

Ainsi, selon que le carré de la vitesse initiale de la planète^ multiplié par sa distance initiale au centre du Soleil et divisé par le double de la somme des masses de ces deux corps célestes, est plus petit, égal ou plus grand que rintensilé de l'attraction, Torbite de la planète est une ellipse, une parabole ou une branche d'hyperbole.

Ce qui exprime d'une manière générale la seconde loi de Kepler.

Ce que nous venons de dire du mouvement d'une planète autour da Soleil^ s'applique évidemment au mouvement d'un satellite autour de sa planète.

389. On ne retrouve la troisième loi de Kepler qu'en supposant la différence des masses planétaires insensible par rapport à la masse solaire. Nous avons trouvé l'équation (n)

■ C = v/<(i-e«), dans laquellci d'après ce que nous venons de dire,

C représente le double de Taire décrite dans Tunité de temps^ a le demi-grand axe, et e Texcentricilé.

Si nous désignons par T le temps de révolution de la planète, Taire décrite dans ce temps T par le rayon vecteur de l'ellipse est

«aVl — ^;