RECHERCHE DE LA PLANÈTE QUI TROUBLAIT URANLS

longitude héliocentrique A^Uranus dues à l'action de la planète cherchée, il considère :

1* Les perturbations périodiques indépendantes des excentricités, représentées symboliquement par

(i ) m'SP^'^ sin [(n' — n)it + i(e' - e)]

dans laquelle F*^ représente une fonction fractionnaire très-compliquée de a. Il fit varier Texpression (1) depuis t = 1 jusqu'à i = 3 seulement.

2» Les perturbations dépendantes de la première puissance de Texcentricité d'Uranus, représentées symboliquement par

(2) m'2lN<'^8in|[m' — (t — i)n]^ + «' — (t— l)e — ^(

dans laquelle N^*^ est une fonction très-compliquée de « multipliée par e; il s'arrêta aussi pour ces perturbations à t = 3.

3** Les perturbations dépendantes de la première puissance de Texcentricité de la planète cherchée, représentées symboliquement par

(3) m'e'SM^^sinjlm' — (i— i)wJ/ + iV— (i — l)e — 1:'{

dans laquelle M^*^ est aussi une fonction très compliquée de a.

Ayant négligé les perturbations dues aux puissances supérieures des excentricités, ainsi que les inégalités séculaires à cause du peu d'intervalle (455 ans) embrassé par l'ensemble des observations d'UranuSf M. Le Verrier, en réunissant les expressions (i), (2), (3) et en développant dsms (3)

8in|[tV-(t-4)n]/ + tV-(/-i)e-.,r'| =

sin{[tn' — (i — l)n]^ + «£' — (« - ^)-\ cosr/— cos J [in — (i — \)n]t -f- -ftV — (i— i)e}sin7c',

il arriva, pour la principale perturbation en longitude d'Uranus, à une expression de la forme

et en posant à la relation

= Am' + Hm'e' sin n* -f^ LmV cos «', A' = e'simr'

'at; = Am'-f Hm'A' + LmT,

dans laquelle on a, t étant i, 2, 3 :

506 ASTRONOMIE. — NOTIONS DE MÉCANIQCE CELLSTE.

A == ZV " iin[' n — n'tV + j(l' - 1\ + SN ' sin ;i'«'— >>' — i n]t 4-

L= + SM^''sin;[m — (i— !)«]/+ iV — (t— i)^;.

L'expression (4), comme on le voit, est une expression excessivement

compliquée de a= -, e, r, e', ?:' et t.

Comme les perturbations signalées par Tobservation dans U longitude A'Uranu$ provenaient aussi des correclions

ce, on, oe, o-

que devaient subir les éléments de cette planète, M. Le Verrier forma ses équations de condition en établissant que les écarts r^ en longitude devaient élre égaux à or due aux perturbations déterminées par la planète cherchée, augmentée àe Terreur en longitude due aux corrections des éléments d'Uranus. Celte erreur en longitude est donnée par l'expression

(5) (i+2ecos;)8€+(i+2ecosÇ)/on+2sin;$e— 2cosî>Ss

dans laquelle î est l'anomalie moyenne d'Uranus à l'époque t.

Négligeant dans l'expression (5) les termes en eh et ri», il obtint pour fo7Tne de ses équations de condition

(6) 8e4.A:Tûn+2sin(; + itnT)o«--2cosi; + ibit;e5^+P^***^ + r»^==0,

dans laquelle ( est l'anomalie moyenne dXVanus à l'origine da temps (1747,7), X un intervalle de 4-4 années et k un coefficient prenant ia valeur 0 pour la première équation de condition, i pour la seconde, 2 pour la troisième, etc. On a aussi

c'est-à-dire le second membre de Téquation (4) considéré à 14 ans d'intervalle à partir de 1747,7.

On voit donc que les équations de condition telles que (6), contenaient comme inconnues cî, Se, on, or, A', C m' entrant linéairement dans «s équations; a y entrant à un ordre très-élevé et même sous forme de série, et t entrant d'une manière transcendante. Pour ces neuf inconnues il fallait neuf équations, mais nous allons voir plus loin comment ils*affiriQchit de l'inconnue a.

Comme de 1747,7 à 1845,7 il y a 98 ans, M. Le Verrier se proposa, n'ayant alors que huit inconnues à trouver, c'est-à-dire oc, Sn, oe, 2r,4', [, m et e', d'établir huit équations de condition analogue à (6) et égalenteot

RECnEHCUE DE LA PLANÈTE QL'I TROUBLAIT URANUS. o07

espacées, quant au temps. L'intervalle de 14— = 'c donnait à peu près »iT=60<», ce qui lui permit d'établir des relations très-simples entre les différences secondes des perturbations de la longitude dues à Taction^de la planète cherchée et les différences secondes des perturbations en longitude accusées par Tobservation. A ces huit équations (6), M. Le Verrier en joignit six autres que Ton déduisait des huit premières en formant les différences secondes de ces équations.

De la manière dont entrait a et e' dans les équations de condition ainsi trouvées, le problème devenait réellement inextricable. Pour s'affranchir de l'inconnue a, M. Le Verrier admit la série de Titius et posa a =0,5, ce qui lui permit d'obtenir numériquement les coeflicients P^'^, N'*^ et M '^^ et réduisit définitivement à huit le nombre des ses équations. Il n'y avait donc plus que t* qui entrait d'une manière transcendante dans ses huit équations^ car au moyen des différences secondes de ces équations il put, par la considération de nr = 60^, ainsi que je l'ai déjà dit, obtenir des équations linéaires par rapport à m', m'h' et m'l\

Toute la solution du problème résidait donc dans la détermination de %!.

M. Le Verrier ne crut pas pouvoir établir V équation finale contenant t\ en raison de la complication avec laquelle cette inconnue se présentait dans les équations, et il eut recours à des essais successifs.

11 attribua à e' des valeurs particulières, en déduisit, au moyen des équations qu'il avait déduites de ses équations de condition et qui donnaient les valeurs des sept inconnues en fonction de e', différents systèmes de valeurs pour toutes les inconnues, et chercha celui de ces systèmes qui paraissait satisfaire aux huit équations (6).

M. Le Verrier dressa ensuite un tableau des valeurs de A, H, L développées suivant les sinus et cosinus des multiples successifs de e', dont les coefficients numériques furent calculés pour 18 époques choisies entre d690,98 et 1845,7.

Afm d écarter de ses essais les valeurs de s' qui pourraient donner lieu à une valeur négative de m', ou même à des valeurs positives de m' surpassant 3 ou 4 unités, valeur qui était inadmissible relativement aux perturbations que, dans ce cas, devrait éprouver la longitude héliocentrique de Saturne, M. Le Verrier forma la valeur analytique de m' en fonction des coeflicients a, 6, c, d; a', 6', c', d'; a", 6% c^, (/", des trois équations linéaires que Ton obtient quand, en supposant zf connu, on élimine des équations (6) les inconnues Se, on, 8e et oti.

Cette valeur analytique de m' est de la forme

^d{bY—c^b")+d'(cb"'-'bc^)-\-d%bc'^cb') N ^ — a(b'c" — c'b'') + a'(c6" — 6c") + a'\hd — cb'] "" D '

Pour examiner la forme de N et celle de D avec plus de facilité, M. Le

Verrier posa tang - = x et put ramener ainsi ses calculs, qui se présen-

taient sous la forme trigonométrique^ à s'effectuer sous la forme de poty- Dômes entiers.

ê' H obtint N en fonction de tang - = x, par l'expression

A l*aide du théorème de Sturm^ M. Le Verrier apprit qu'il n'existiA pas de valeur de x pouvant rendre nulle la quantité entre parenthèse ov numérateur de N, quantité toujours positive ; donc m' ne pouTait pas devenir zéro. (Chose assez évidente d'elle-même» disons-le en.passant.)

£n formant l'expression de D d'une manière analogue à N, il trouva la relation

— 10»(l+0,086.767x) [x+JA^lAS] (x+0,0tl.49t)(j— ijg3,707 F'

dans laquelle

F^«'=3447x«+ii560a:*+22430x*+25857x»4- 29193x«-}-l 1596^:+ 5602

Le théorème de Sturm lui apprît encore que Texpression F^'- restait positive pour toutes les valeurs réelles de x, et comme N était toujours négatif pour toutes les valeurs de x^ ^. Le Verrier ne put admettre pour cette quantité que les valeurs rendant positif le produit des quatre facteurs du premier degré qui se trouvent au numérateur de D.

11 trouva ainsi que t devait être compris entre 96*40' et 189*55' oa bien entre 263» 8' et 358* 41'.

M. Le Verrier remarqua^ d'après la valeur numérique des quantités

(bc'^cb% (hc" — cb'% {b'c"''b'c'),

que ces valeurs étant très-petites par rapport à 6, c, h\ c\ A*, c*, la valeur qu*on en déduirait pour m' ne pouvait pas être d'une grande exactitude.

Ayant ainsi obtenu les limites entre lesquelles &' devait être compris, il calcula les valeurs de a, 6, c, a', b\ c', a", 4", c" pour des valeurs de t s'étendant de 9 en 9 degrés de 0' à 3ol».

Puis, en prenant les valeurs de t' comprises depuis 99* jusqu'à 180" de

9 en 9*, il trouva 10 systèmes de valeurs de m', m'A' et mT; et pour

10 autres valeurs de e' comprises de 270 à 351, il trouva iO autres systèmes de valeurs de m', m'h' et m7 .

En rejetant les valeurs de m' trop considérables^ c'est-à-dire supérieures à 4y II. Le Verrier crut pouvoir conclure que e' devait Décessairemeot être compris entre 108* et 162* d'une part, ou entre 297* cl 333* de Tautre part .