DES ASTRES
46. Soient ABA'B' (fig. 30) , le disque réel d'un astre dans la voûte Ci'leste, aùa'b' son disque apparent déformé par la réfraction. Soient aussi zoO le vertical du centre de l astre, A A' et aa' lesintcr-
Fig. ÎO.
sections des deux disques par des grands cercles de la sphère céleste perpendiculaires au vertical zoO.
Eu égard au peu d'étendue des disques par rapport à la voûte céleste^ on peut regarder les lignes AA' et BB' du disque réel, aa' et bh' du disque ap« parent^ comme étant des lignes droites^ et nous pouvons les prendre comme axes de coordonnées des contours des deux disques.
Considérons un point M du disque 0; ce point, en raison de la réfraction, parait en m sur le vertical zM.
Posons
PM = y, OP = a:, pm=zy'^ op = x'.
En appelant d le demi-diamètre réel OM de Tastre, on a la relation évidente
rf» = a:« + y«.
Cherchons une relation entre x et x' et entre y et y'. Les triangles sphériques ozp et OsP donnent
tang xf ^ ^ r% ^^S ^
d'où
smo:
tang x' __ tang x sinoz "" sin Oz '
sin Oz '
ou, en remarquant que a:' et a: sont très-petits,
sin Oz
sin oz
Mais Oz est égal à la distance zénithale apparente oz augmentée de la réfraction Oo. On a donc, en posant oz = N,
c'est-à-dire, d'où
^,sin(N + Oo) sin N
/sin N + cos N.Oosinr^
\ sinN
X = j/ + x' cotang N . Oo sin i",
— = 1 -f cotang N.Oo sin 1"
Mais la réfraction Oo (38) est égale à 6(y,567 UngN, en négligeant le second terme; donc, en représentant 60",567 par a, on a
NOTIONS SUR LES RÉPIUCTIONS ATMOSPBÉRIQUISS. 47
(a) xssx'+ouc'sinl'.
Cherchons une relation entre y et y'.
On a évidemment^ d'après la figure 20,
d'où mais
on a donc c'est-à-dire
y'ssmM + y — Pp,
y = i/ + Vp — mM,
PpzzzOo = a tangNy mM = oc tang (N — y');
y=y'+oc[.tangN — tang{N-y')].
• asiny'
^~^"^cosNcos(N— y')' ou^ sensiblement^
Remplaçons dans (i* = x* + y', a: et y par leurs valeurs (a) et (P), on a
(T) rf« = x'«(i+«sinlT + y'* 0 + ^^)''
N étant la distance zénithale apparente du centre du disque.
Cette équation est celle d'une ellipse.
DonCy la réfraction, en élevant le disque d*un astre, le rend sensiblement elliptique.
Si, dans l'équation (y)» on fait y'= 0, on aura pour demi grand axe de Tellipse, c'est-à-dire pour demi-diamètre horizontal â! réfracté^
l + ocsinl"'
d'où Ton peut déduire Vaccourciisement produit sur le demi^diamètre horizontal d. On a, en efiet^
^ = i + asini%
rf — (/' asinl" . ,^
d 1 + a sm 1" '
puisque le dénominateur diffère peu de l'unité; c'est-à-dire
(i) rf — d' = adsinl"=:A'.
On voit que raccourcissement A' du demi-diamètre horizontal est indépendant de la distance zénithale.
Si, dans l'équation (y), on fait af = Oy on a le demi petit axe de Tellipse ou le demi-diamèlre vertical d" rérracté
asini"'
cos'N d'où Ton déduit raccourcissement produit sur une demi-corde verticale
d — d"aLÛïii"
d "" cos» N ' ou
^ ' cos' N
Dans l'équation (y) du disque elliptique, nous pouvons remplacer x' par r cos <p et y' par r sin (f ; «p étant l'angle mop sensiblement égal à MOP, et r représentant le demi-diamètre incliné moy il vient alors, en introduisant M et D'y
d» = r' cos» <? (i + 7)'+ ^' ^^"'? 0 + 1)*'
rf* A' A'» B' B'*
-=cos*<p + 2cos*9^ + cos»(?-^+sin'<p + 2sin»® j-fsin*ç— .
ou bien
^* i t Cl / . A' . , B'\ , • A'« . , B'» ^ = i+2(^cos'<P^ + sm'ç-j+cos'cp^4-sm'^^.
Mais
. . ^ / f A' . , B'\ 4+2 (cos'© V + S'n'?^)
sont les deux premiers termes du développement de l'expression
[.+ (cos',^ + sin.4)J.
On peut donc écrire, en négligeant les tenues en a*,
d'où, sans erreur sensible,
KOTIONS SUR LES RÉFEACTIOXS ATMOSPHélllQCES. 49
c*cst-à-dire,
(3) d — r = C08«çA' + sm*(i>B' = C'.
Telle est la relation qui donne raccourcissement C du demi-diamètre d ayant une inclinaison «p sur l'horizontale.
Supposons donc qu'à Taide d'un micromètre, disposé à cet effet, nous mesurions le demi-diamètre incliné r; nous pourrons prendre pour N distance zénithale du centre, la distance zénithale observée, augmentée ou diminuée de r.
Maintenant, pour déterminer (f et d*' on déduit des relations (i), (i) et (3), les équations
(4) d' = d(4— ocsinr)=rf.a,
et enfin
Gcrf sin V' ___ C05«N ■"
(6) r = d — cos'ïporfsin 1" — sin* 9
a ( 1 — cos' <p a sm I — sm' 9 — — ) z=d.c.
Des relations (i) et (6) on déduit
De (5) et (6) on déduit
On connaîtra donc les demi-diamètres horizontal et vertical réfractés, c*est-à-dire tels qu'on doit les considérer dans l'observation à la lunette méridienne et au cercle mural.
Réciproquement, si, connaissant d , on veut avoir d^ d" et r, on déduira ces trois valeurs des relations (i), (2) et (3).
On peut mettre en table la formule (3), laquelle devient, lorsque Ton remplace A' et B' par leurs valeurs
(e) C = cos* ça d sm 1 + sm' ? r— -.
. ^ ^ cos' N
Cette table a pour arguments <p et N ; d ^/ supposé égal à i&. Elle est la XV' des tobles de M. Caillet (i'* édition) et la XXUl* de la seconde' édition.
Pour la calculer, mettons la relation (3) sous la forme
d'où
C = — ^ ^— cos îç.
Le premier terme, indépendant de (p, est la valeur de C pour <f = 45*". Pour toute autre valeur^ on a cp = 45'zfc <p', d'où
Ce qui donne pour chaque valeur de <p' deux nombres de la table. Lorsque d est égal à 16' db 8, la relation (e) devient évidemment^ en remplaçant d par 16' zh 3,
C'=cos«9.al6\sinl''+8in'©5^i^^^:|î^
^ ^ cos* N ^ ^ cos' N
= 16' (cos'T.sinl"+ sin'T^) ± A (cos^ç.sln 4"+ sin»,^) 16' le premier teinnie est celui donné par les tables.
es
En l'appelant C, on voit que le second terme est — ; on a donc, dans
ce cas,
c'=c±cl.
Une annexe de la table XXIII, seconde édition des tables de M. Caillet, donne la correction
Pour construire la table XIV de Callet, dans laquelle on ne donne que le demi-diamètre vertical et le demi-diamètre incliné, on a simplement considéré, dans la première partie, raccourcissement du diamètre vertical comtne étant le résultat de la différence des réfractions relatives à la distance zénithale N du bord et à celle (N ± d) du centre, d étant le demi-diamètre en hauteur; et Ton a admis que dans un petit intervalle, la variation de la réfraction est proportionnelle à la variation de la distance zénithale.
La seconde partie ne donne que le terme B' sin' <p de réquation(â) ; on néglige donc le terme A' cos' <p, ce qui est peu important pour les observations faites à la mer.
La table XXI de Guépratte ne donne que raccourcissement vertical.
PBEIIIÈRES NOTIONS SUR LA PARAUAXE.
