THÉORIE GÉNÉRALE DES ANOMALIES

143. Comme ce problème trouve autre part son application, nous

allons d*abord le rendre général en considérant un mobile M (fîg. 95), assujetti à décrire une ellipse en se soumettant à la loi des aires.

Si nous appelons r le rayon vecteur et dS Tangle décrit par ce rayon dans le temps dt^ on aura pour aire A décrite par ce rayon vecteur r, dans le même temps dt^

k^^T^dS,

d'où

dV =

Donc, en des points différents de l'orbite^ le mouvement angulaire cTV iu rayon vecteur est en raison inverse du carré de ce rayon; le mouvement angulaire du mobile n'est donc pas uniforme.

La vitesse maximum aura lieu en P^ extrémité du plus petit rayon vecteur PF, et la vitesse minimum aura lieu en A, extrémité du plus grand rayon vecteur AF.

Ainsi, la vitesse angulaire du mobile variera de P en A et reprendra inversement les mêmes valeurs de A en P.

Pour connaître à un instant donné la position du mobile dans son plan, il faut connaître : le temps T de révolution du mobile pour revenir de P en P, Vangle MFP et le rayon vecteur FM.

Nous supposerons le temps T de révolution connu; nous verrons plus tard comment on l'obtient.

Soit donc PDAiy (fig. 96), Torbite elliptique que décrit le mobile M en supposant, comme nous l'avons déjà dit, que le rayon vecteur MF suive â^' la loi des aires.

Concevons un second mobile m ^etti à se trouver avec M aux points ? et k et à décrire le cercle PdXd' rf'im mouvement uniforme.

ASTROROIIII. ii

Tips de révolution du mobile M, T sera aussi le temps de lobile m.

oyen. — Anomalie moyenne. — Le mouvement angulaire jra uniforme; et si l'on représente par t le temps écoule mobile va de P en m, on aura évidemment la relation

>ente le mouvement angulaire du mobile m dans Tuoité de

lé le mouvement moyen du mobile M.

I, qui est connue dès que Ton connaît T, se représente

que la relation précédente peut s'écrire

mC? = nt.

»*appelle anomalie moyenne,

ie. — Supposons que M soit^ sur Tellipse^ la position du [)rrespond à la position m du second mobile sur le cercli» AFP est ce que Ton nomme anomalie vraie, noyenne est déterminée dès que Ton a observé trois

lu passage du mobile M au point P ;

ïe révolution de ce mobile;

temps écoulé depuis le passage du mobile M en P jusqu'à

i considère.

aie va se déduire de Vanomalie moyenne à Taide d'une fisition.

entrique. — Menons au point M Tordonnée M'M^ et joi-

' est cette anomalie de transition que Ton nomme onolie et que Ton désigne habituellement par u.

entre Vanomalie moyenne et Vanomalie excentrique,

)ns d'abord une relation entre Vanomalie moyenne nt et

\trique u.

rculaire mCP est évidemment décrit dans le même temps t

tUiptique MFP; donc, en raison de la loi des aires^ le rap-

e ces deux surfaces est égal au rapport de l'aire du cerde

)se.

Si roD représente par a et 6 le demi grand axe et le demi petit axe de

Ja* — à* rdltpse^ par e le rapport , on a la relation

secteur mCP ira* a

^^ secteur MFP""^"^ 6*

Joignons M'F.

D'après la propriété de Tellipse, on a

d'où c'est-à-dire

aire WqP aire M'Fq ^ a aire MjP "^ aire MFç "" 6 '

aire M' g? + aire tILTq a aire Mj'P-^ aire MF; "^Â'

aireMFP a

aireMFP 6* Si l'on compare cette relation à

secteur mCP a

secteurMFP "" V

OD en déduit oa

secteur mCP = aire M'FP, (2) secteur mCP = secteur M'CP — aire M'CF.

Mais on a

etenâo

a secteur mCP=:: angle mCPxaX 5

= n/XaX^

= zrnt

secteur M'CP =~tt>

, m.//i»n CF -., ae , a* .

aire M'CF= -r- X M'j = — X asinu = -- esinu. z z 2

Substituant ces valeurs dans la relation (3)^ et divisant les deux membres

par -T, il vient

n^ = tt — esin ti.

Si nt et u sont des arcs expr^nés en secondes^ comme ils sont supposés

il faut les multiplier par sin i"; celte

e - -7—7; sm u.

par rapport à w, peut se résoudre par En appelant m', u\ m",..., etc , des vasivement :

^,sin«'

aurin,

W.i.2'*'WV.<-2.3

i en fonction des puissances croissantes

Perchons Q^,(^^.)^..

...à l'aide de

= Il — e sin fi.

u^ = ni.

» il vient

*cosu.du —sin II. (/e.

sin II

i — e cos M

)=: sin nt.

înt

sinttdii' — êCùêutPu — CO6 udude.

Divisant par dé^j on a

d}u du du^ d^u du

de* de de* de* de

(/•m,. ^ ^ du . /duy

— (i^ecosu)^<lcosu^-esmui^j^j ;

faisant e=0, il vient

(g)^ = 2cosn,(^)^,

et remplaçant [ — ] par sa valeur sin ni, on a enfîn

(j^) =2sinn^cosnr=:sin2wr, et, par suite, la valeur de u devient

« = n/ + csinw^ + j-r sin 2n/.

Si Ton voulait plus de termes^ il suffirait de continuer à déterminer les coefficients différentiels successifs.

Relation entre le rayon vecteur et V anomalie excentrique.

145. Avant de déterminer la relation entre Vanomalie excentrique et \ anomalie vraie^ nous allons chercher celle qui existe entre le rayon vecteur r = MF et Vanomalie excentrique u.

Dans le triangle MF; (fig. 96), nous avons

r = v^M;« + Fç'; mais M j = y et F j = X — a^; il vient donc

r = s/ y* + ^' — îaear + a*e*.

Diaprés l'équation connue de Tellipse^ on a

a*e* = a* — b*, ou b* = a*(\—e*); 00 en déduit

par suite, la valeur de r devient^ en aisant la réduction des termes semblables,

c'est-à-dire

r= sj{a^exy =a —ex,

mais X est égal à a ces ti, il vient donc,

r = fl(l — ecosM).

Nous pouvons obtenir la valeur de r en fonction des puissances croissantes de e et en fonction de nt.

Dans Texpression r = û (1 — ecosu), posons - = r'. On a alors

Le développement en série de r' suivant les puissances croissantes de e sera de la forme

Pour e = 0, la formule (c) donne r\ = i.

Différentions l'expression (c)y et remarquons que u est aussi variable^ on a

[d) dr' = — decosu -f esmudu,

d'où

rfr' . . du

---=r^costi-f esmu -y-, de de

et comme nous avons trouvé que lorsque e = Of on ttu^^nt^ il vient, en faisant e= 0,

Dilférentions la relation ((/), nous obtenons

(f) d V = desin udu -f desxnudu -f ecos udu^ + ^ sin ud^^u^

d'où, en divisant par rfe',

rf'r' ^ , du ^ /duY , . d'u

-r-5- = 2sinM -r- +ecosw l^r- ) +^smu TT« de* de \de/ de*

Si nous faisons e = 0^ il vient

mais en cherchant le développement de u en fonction de ti/, nous avons trouvé

donc

:2sin*n/ = l — cos2n^

En substituant ces différentes valeurs dans l'expression de r^, il vient

r'= i — ecosnt + -5(1— cos2 ni).

d'où

(c') r = a (1 — ecos w/ + - (1 — cos2n/).

Relation entre les anomalies vraie et excentrique.

1 i6. Cherchons actuellement une relation entre V anomalie vraie et l'onomalie excentrique.

Nous venons de trouver r= a(i — ecosti).

Uéquation polaire de Tellipse donne, en appelant V l'anomalie vraie MFP,

i +ecosV

Égalant ces deux valeurs de r ; il vient, en divisant par a, \—e^

1 + ecosV d'où l'on déduit

= i — e cos ti.

I — tf' = I — ecosw + ecosV— e'costtcosV, et par suite

-. ecosw — e' costi — tf

C0SV= =r- ,

e — e'cosw 1 — ecosu de laquelle on obtient

i ^cosV (i +g)^ cosu(i + g) (< +e)(i —cosu) i + cosV (\ — e) + cosu(i—e)'^(\—e}{\+cosuy

Ou pnfin

Ainsi, connaissant u en fonction de nt, on connaîtra aussi V.

147. Comme e est plus petit que i , on peut poser e = siiiT) ; à Taide de cette expression^ la relation entre V et ti devient

tang- V = tang \^^ +^ tang~w.

On peut aussi obtenir deux expressions qui donneront r et V à la fois

en fonction de u,

Reprenons la relation — -r T7 = i — ecosw; résolue par rapport

*^ 1 + ecosV "^

à u, elle donne

cosV + e

cos ti = -— i-—.

1 + ecosV

Or, on a

2sm*-ti = 1 — cosw,

2cos*2« = 1 +co$tt;

En mettant à la place de costi sa valeur en fonction de V^ on trouve

^ . ,i (i e)(i — cosV)

2 1+ecosV

On a, en mettant à la place de 1 + ccos V sa valeur ~ ^

(l-^)2sin«Jv.r

2sm*- W = zr^ ,

^ (i+e)2cos«iv.r

2C0S* r W = rr ,

Vrsm-V=v«(* +e)sm-w, VrcosjV =va(l — e)cos5M.

Si l'on remplace e par sinv), on trouve

v'^r sin 3 V = v^sin (45 + - j sin - u,

éTCDE DU SOLEIL. — THKORIE DES ANOMALIES. 177

v/rcos ~ V =i\/¥acos U5 + ^ jcos - w. Ces deux relations, divisées Tune par Tautre, donnent bien la relation

tang-V = yj^tang-ti,

trouvée plus haut.

On peut y connaissant t, vouloir déterminer t/, r et V. On obtient u au moyen de la relation

' sml'

Supposons que u' soit une valeur approchée de u, on a

Substituant dans l'équation (1) et désignant par 4» l'expression

fU ^ {u' -^ tfSiUM'),

on a ra

i — ecosu

Une fois u ainsi obtenu, on a r et V par les relations

r n= a(4 — ecostt) et

tang - V = tang (45 -h ^) tang - ti,

ou bien par les deux relations

v/rsin- V= y^ââsin (45 + ç) sin - ti,

V^rcos-V = v^cos (45 +5)^0^ - u.

Pour obtenir V développé en série suivant les puissances croissantes de e, nous avons la série de Mac-Liurin

relation (y) cosVr=-

Considérons la relation

cosM — e i — «costi*

f en nous rappelant que, dans ce cas, costf«==cosn/,

i)j mettons-la sous la forme tico5Y:=costi — e; \ et Cy nous aurons

- esinti cos Vrfti -f ecos ttsin V(/V = 'S\n udu — de,

e sintf cosV --- + ecosu sinV -7- = de de

de il vient

•s'n/=— sinii/ i^\ — I.

'' "' ' î~/ P*** ^o "^ V^ nous avons ions

+ sin»pi/=— .sin'ur— I,

) =2sinnl.

s avoîîs

^V <?^"o> » >in Yi^V^zr— cos k</ï«— sin »'ef « il \^r.t

ix^»<iaV |i-| -^îco>V5m» (— ) =

mais remarquant que lorsque « = 0 on a

(^)^=28in«r,

(g)=siHÎ«..

Substituant ces valeurs, on trouve

/rf*V\ — sinnd-TY) — 4sin*nfcosrrf+4cosn^sin*n^+2cosn<sin'n^ =

= — cosntsin* ni — 2cosn^sin*n^, ou réduisant

— sinfi/(^-j-) +2cosn/sin'n^=~3cosn*sin*nr,

et par suite

t^ cosnt sinni z

5 sin 2n/ ' 2 •

/rfV\ /rf'V\ Si dans le développement de V on remplace ^o^ \-t^] y[-Tij P^r

les valeurs que nous venons de trouver, on obtient

(af)

V= nt + ie sin nt -(-- e* sin 2n/ + .

en s'arrélant au terme en e^,

i48. En appliquant cette formule au mouvement du Soleil, on voit comment on pourrait déterminer son anomalie vraie en fonction du temps. Faisons de suite observer qu'au lieu de Vanomalie vraie nous pouvons obtenir immédiatement la longitude vraie L du Soleil supposé en S (fig. 97).

Désignons, eh effet, par L'ia longitude du Périgée. On a évidemment la relation

V=L— L'+360» ou simplement L— L'.

Comptons le temps à partir de Vinstant du passage du Soleil vrai à léquinoxe du printemps en S,.

lyon vecteur du Soleil fictif (décri?aDt Tanoat T) quand le Soleil vrai est en S,, et si nous lepuis l'instant du passage du Soleil vrai au 1 au point vemal^ et 0' l'intervalle de temps qu'au moment où le Soleil se trouve en S,

à MTP^ c'est-à-dire égal à la longitude du 1 vrai est au point vemal, moins la longitude *eudrons à déterminer.

-L' ou L'+fi/ = nÔ'+(x.

îeslnnt -f ~ e^sin^ni ,

t égal il la longitude du Soleil fictif, c*est-à- M pour rinstant considéré ; on a donc enfin

k-L') + je«sin2(U-L')

mobile m comme décrivant le cercle Vd.\d

nous eussions pu le supposer décrire le petit

I F, en l'assujettissant, toutefois, aux mêmes

Ae, correspondant à celle m, serait m' telle

P, l'anomalie moyenne.

fre. — On appelle équation du centre^ la diflene mCP ou m'FP et l'anomalie vraie MFP; tel ^al à MFm'.

représentant cette difiërence par E,

n développement en fonction des puissances

sinn/-)- - e'sin2n/.

Digifized by VjOOQ IC

ÉTUDE DU SOLEIL. — DE L*ÉQUAT101f DU CENTIIE. 181

00 bien en fonction de la longitude du périgée et de la longitude moyenne,

E = 2e8in(L^— L') + ^c«sin2(L^— L')

E a une valeur positive dans la première moitié de l'ellipse, et négative dans la seconde. Considérons, en effets les deux relations

nt=zu — esinw et

'•"4-[iî±ir-4«-

De la première nous déduisons que tant que u < 180*, c'est-à-dire dans la première moitié de rellipse,

nt e$t plus petit que u,

et de la seconde que tant que u < 480*

V est plus grand que u.

Donc^ 4 fortiori, V est plus grand que nt, et» par suite, la valeur de E est positive.

Le contraire a évidemment lieu lorsque u > 180*.

Il est évident que E est nulle aux deux points P et A du grand axe de l'ellipse 9 puisqu'en ces points^ d'après notre hypothèse » m et M sont réunis.

On voit aussi que puisque E est nulle en A et en P^ sa valeur maximum doit avoir lieu entre ces deux points.

Si nous considérons deux anomalies excentriques u et u', telles que l'on lit u' = 360» — ti, les relations

nt = u — esin ti, r=a{{ — ecosw),

tangiv=:(i±^ytangiu,

deviennent^ pour Fanomalie u\ en nommant t! l'intervalle correspondant, n/'= 360*— u + esin m = 360 -^ nt,

iîî ASTRONOMIE. — GÉOMÉTRIE CÉLESTE.

Donc

mais Donc

V'-nr=: — (V— n/).

Ainsi ^ pour deux anomalies excentriques dont la somme est 360*^ les équations du centre sont égales et de signes contraires, et le rayon vecteur est le même.

Détermination de la valeur maximum de r équation du centre.

i50. Nous verrons plus loin^ dans la mesure du temps^ que la valeur maximum de Téquation du centre est un élément important à connaître. Déterminons donc cette valeur.

Reprenons la relation E= V — n^

11 faut que Ton ait pour le maximum

d.nt -*' Mais l'aire élémentaire décrite par le rayon vecienr de l'ellipse est

lr»d\; celle décrite par le rayon vecteur qui décrit ranomalie moyenne est

et comme en vertu de la loi des oim, ces aires sont entre elles comme celles de Tellipse et du cercle, c'est à-dire dans le rapport de i à a, oo a la relation

r^dV è »

En remplaçant H par sa valeur donnée par Téquatioii polaire deTellipse

i + ecosV*

ÉTUDE DD SOLEIL. — DE L'ÉQUATIOIf DU CENTRE. 183

on a

rfV(l + gcosV)«

et la valeur de V qui doit correspondre à la valeur maximum de E est alors donnée par la relation

(i + ecosV)* , 8— = *^

(i-e«)« d'où

(l+ecosV) = (l— eV, de laquelle on déduit

Si Ton développe (4 — e')*^ en série, on a, d'après le binôme de Newton f

donc

Telle est la valeur de Vanomalte vraie V qui correspond à la plus grande équation du centre.

Pour en déduire la valeur de u correspondante, on substituera cette valeur de V dans la formule

La valeur de Vanomalte moyenne correspondante^ et par suite le temps écoulé depuis le passage du mobile au point P, seront donnés par la formule

sm 1"

dans laquelle on substituera à la place de u la quantité que Ton vient de trouver.

Enfin, la valeur de la plus grande équation du centre sera donnée à l'aide d'une simple soustraction E= V — n/;

ORME ET DE LA GRANDEUR DE l' ELLIPSE iOLElL DÉCRIT AUTOUR DE LA TERRE.

*espace, que la Tetre décrivant autour de ptique, la forme de cette orbite serait rigoos moyens que nous indiquerons suffiraient ière précise, la forme de cette ellipse, et pour approximation possible, la position apparente fais, les planètes et surtout la Lune exercent tr la marche de noire globe autour du Soleil, 'est pas alors assez exactement déterminée ns le faire. Nous donnerons, dans la suite de léthode dont on se sert pour obtenir d'une e les coordonnées du Soleil et sa distance à la

déjà le plan de l'espace qui contient l'orbite 5 que comporte la question qui nous occupe

DÉCRIT LE Soleil;

IBE DANS l'espace; PSE.

léterminée par son excentricité;

e dans l espace est déterminée par rapport à

oyen de la longitude du périgée;

e par la grandeur de son demi grand axe a.

ïination de V excentricité.

Dis du mouvement apparent du Soleil, nous

it, en mesurant le plus grand et le plus petit

\it obtenir V excentricité.

e en suivant une autre méthode. Nous avons

nt angulaire du rayon vecteur est maximum

)ogée.

it angulaire, dans un intervalle assez petit,

ogée.

cteurs correspondants. En raison de la Iw

— c) et r' =r a (i + e);