EMPLOI DE LA SÉRIE DE FOURIER. I

rences, etc., les déviations repassent chaque fois par les mêmes valeurs. Ceux-là s'expriment au moyen de fonctions périodiques dont le type est la série de Fourier :

/(M') = A-h<'/sin(M'-4-a)-h6sin2(M'-hp) -4-csin3(M'H-7) -h... ou /(M') = A H- B sinM'H- GcosM'-h D sin2M'-+- E C0S2M'-+- Fsin31Vr-+-. . . .

En examinant les courbes de déviation, on est frappé de leur caractère presque purement sinusoïdal ; il y a donc tout lieu de croire que les premiers termes suffiront et que déjà les coefficients des sinus et cosinus du double de l'argument seront relativement faibles. L'étude des déviations se trouve ainsi ramenée à la détermination d'un très petit nombre de constantes de la série de Fourier au moyen de certaines valeurs de la fonction inconnue /(M').

Supposons donc qu'on ait déterminé les déviations correspondant à un certain nombre de valeurs de l'azimut M'. A chacune de ces déviations répond une équation de condition

entre les coefficients inconnus A, B, C, D, Nous traiterons

l'ensemble de ces équations par la méthode déjà employée. Elle consiste à former l'équation en B, psrr exemple, en ajoutant toutes les équations après avoir changé les signes dans celles où le coefficient de B est négatif, l'équation en G en ajoutant de nouveau toutes les équations après avoir changé les signes de celles où le coefficient de C est négatif, etc. On obtient ainsi autant d'équations finales que d'inconnues, et l'on résout le système de ces équations finales par les méthodes ordinaires de l'Algèbre.

Ces calculs sont d'une extrême simplicité ; les équations finales sont même toutes résolues si l'on a eu la précaution de faire croître l'argument M' par intervalles réguliers partageant la circonférence en un certain nombre de parties égales. Alors, en effet, l'équation finale en A ne contient que l'inconnue A, car la somme des sinus ou des cosinus d'arcs pris sur toute une circonférence en progression arithmétique est

nulle. Il en sera de même de l'équation en B. Pour celle-là la somme des coefficients de B, rendus tous positifs^ est facile à calculer, tandis que la somme des coefficients des autres inconnues, après le changement de signe indiqué plus haut, est nulle. De même pour Téquation en C, etc. Il n'est même pas nécessaire de calculer ces coefficients et de les ajouter : k théorème suivant va nous en donner la somme.

Si dans la relation connue (p. 16)

cos(/« — i)fi — cos(/w H- i)a = T^sinasm ma,

on donne successivement à m les valeurs i, 2, 3,..., m, et que l'on fasse la somme des équations ainsi obtenues, on aura

i-^ cos a ~ cos ma — cos [m -h i)a = ULs\na(sma-hsm2a -h . . . + siniifa).

La circonférence étant divisée enim parties égales que nous désignerons par a, ma sera égal à 180**; cos(772 -f- i)a sera égal à — cosa; le premier membre se réduira à 2-4-2cosa. Eo divisant les deux membres parasina, la relation précédente deviendra

cot- — sin<^/ -h sin2« ■+- sinSa -4-. . .-t- sïn/rut.

La somme des sinus sur l'autre moitié de la circonférence

sera —col-» Mais, en changeant de signe les sinus négatifs

pour former le coefficient de B, la somme totale sera ^col--

11 en est de même évidemment pour la somme des cosinus pris positivement, c'est-à-dire pour le coefficient de C.

Ceux des termes en sin^M', cos^M' s'obtiennent tout aussi aisément lorsque m est lui-même un nombre pair. Alors le

(|uart de la circonférence est divisé en un nombre entier —

de parties égales à 2 a, et l'on a

cotrt = sinart -f- sm4« H-. . .-i- sm —a.

Les coefficients de D et de E seront donc cota.