PROBLEMES DE ROUTE

logarithme népérien, on aura, pour Tinlégrale prise entre X etX',

(2) L'- L =.- ^Ctang^ - -C^ang^) tangV.

Considérons L et X comme les coordonnées du point de départ, et posons Lr^^o® et A = 90% c'est-à-dire faisons commencer la courbe à l'équateur; la relation précédente devient, après avoir supprimé les accents et fait m = tangV,

L = — m 4^ tang - ou e^ = cof» - ( * ) .

C'est réquation sphérique de la loxodronjie. Cette courbe circule autour de la sphère en se rapprochant du pôle, où elle n'arrive qu'après avoir décrit une infinité de spires, car, pour

1=10, cof^ - et par suite L doivent être infinis.

Par deux points quelconques de la sphère on peut faire passer une infinité de loxodromies; mais, si l'on y joint la condition que la courbe ne fasse pas de spires complètes dans l'intervalle en tournant une fois, deux fois, etc., autour de la sphère, il n'y en a que deux qu'on suivra, l'une en allant de A vers B dans l'est, l'autre de A vers B dans l'ouest. C'est généralement la plus courte des deux que l'on considère^ celle où la différence des longitudes L' — L <C 180*».

Problèmes de route.

Dans la pratique, les deux problèmes suivants se présentent continuellement, i** On donne le point de départ (L, X) et le point d'arrivée (L', X') : trouver V et ^, c'est-à-dire l'azimut loxodromique qu'il faut suivre et la distance loxodromique à parcourir, a** On donne le point de départ (L, X) et la route suivie (V, ^) : trouver les coordonnées (L', W) du point d'arrivée. Les équations (i) et (2) résolvent ces deux pro-

a3o CHAPITRE XXIV. — LOXODROMIE.

blêmes ; seulement il faut multiplier le second membre de (i) par 3437', 7 pour le réduire en minutes ou en milles marins. Si Ton n'a pas de Tables de logarithmes népériens et qu'on veuille leur substituer des logarithmes ordinaires deux fois plus petits environ que les premiers, il faut multiplier les seconds par

, = 2,30^585 1. Cette équation, ainsi préparée pour le

calcul, devient

L'— L = — 7915', 705 ( logtang - — logtang - j tangV.

Par exemple, on demande la route de Fernambouc à Hobartown en allant à Test.

Données: jl Î)S« 3 L 822. 5o

yj — A... 34. Jo L' — L..,. 182.10=10930'

^^' ^'''''^' logtang^ o,36o49 ^^^"'^ 9,476o6

î^ 49" iS5 ^ log79»5'i7. 3.89849 g

logtang- 0,06122 3,37405*

'^ log(L'— L). 4,o3862

Diff- OJ29927 loglangV.. o,^!^o',n

logcosV 9,32894

log/' — /. 3, 3201 5

Ainsi l'azimut loxodromique ou l'angle de route sera 282°i4' et la dislance loxodromique sera de 9867', 6. Pour faciliter ces calculs, on a publié des Tables de la fonction

4^tang--^tang-,

en faisant X'^go", ce qui la réduit à 4^cot-. L'arc X' — Ase

trouve alors de 90°— X et mesure la distance du parallèle X à l'équateur, c'est-à-dire la latitude. Le terme ainsi réduit en

PROBLEMES DE BOUTE. 23l

Tables, c'esl-à-dire 791 5', 705 4^col -> porte le nom de latitude

croissante (voir le Chapitre des Cartes marines).

C'est surtout le second problème qui se présente dans la pratique journalière. Pour avoir le point estimé à midi, on ajoute aux coordonnées L et X de la veille le changement en X et le changement en L survenus dans les vingt-quatre heures, c'est-à-dire X' — X et L'— L. Comme (^ est alors un assez petit arc (il ne dépasse guère 3oo' ou 5«»), on remplace la formule (2) par la relation plus simple

(3) L'-L=-tangV--^-^^ = — ^;^^.

sin sm

Voici comment on y arrive. Ici les limites 7! et X de l'intégrale de -r-^ qui nous a conduit à Téquation (2) sont très rapprochées. En désignant par F(X) cette intégrale, par X« la demisomme de X' et de X, par x leur demi-différence, on aura

F(V) = F(>i-f-x) = F(>i) + j:r(>i)-+-^F''(>i)-+--^F'"(XO -+-....