I.2.tJ

En prenant la différence on a, pour l'intégrale définie, la série

F(V)-F(>) = 2xF'(>i)-h2-j-ÇjF"'(>,)^-...,

où les termes d'ordre pair ont disparu. On trouve donc

F(V)-F(>) = 2^F(X,), aux termes près du troisième ordre. Ainsi, pour intégrer -;-^

entre deux limites X' et X assez rapprochées, il suffît de cal-

culer la dérivée -^-^ pour la colatitude moyenne > puis

sm A 2 t

d'intégrer, en regardant cette dérivée comme constante (^).

(*) Nous avons déjà vu un exemple de ce genre dans le Chapitre de la Connaissance des Temps.

232 CUAPITRE XXIV. — LOXODROMIE.

En d'autres termes.

'^' ril V-\

SinA . A'-f-

sin

à très peu près.

Le terme du troisième ordre que nous négligeons est égala

— tangV multiplié par la dérivée seconde de-r^)

c'est-à-dire, en remplaçant X'— X par ç cosV, à

(3438)2 — r — ^T smV cos*V.

^ ' 24 sm^Aj

En donnant à (^ la valeur 3oo' que ne dépassent guère les navires rapides et à sinVcos^V sa valeur maximum — =non

calcule aisément ce troisième terme, qui constitue la presque totalité de Terreur de la formule approchée (3); il ne dépasse pas o',i3 pour Xi = 6o% o',245 pour Xi = 5o** et o',56 pour 7,i = 3o*». La navigation ordinaire restant comprise entre X = 30" et X= 180° — 3o°, la formule approchée est assez exacte pour l'usage continuel qu'on en fait dans la pratique.

Routes composées.

Dans la navigation à voiles, l'angle de route et la vitesse sont subordonnées au vent et varient souvent dans les vingt-quatre heures. La ligne décrite par le navire se compose alors d'une série d'arcs de loxodromies (^, c^', (^", . . . courus sous les angles V, V, \'\ . . . , à quoi il faut ajouter le chemin u parcouru sous l'angle U, dans l'intervalle d'un jour, par la masse d'eau qui porte le navire, si cette masse est entraînée dans un courant de vitesse et de direction données. Le changement total en 1 sera

)/— > = (^cosV-i- (''cosY'-t-. . .-h «cosU.

Le changement en longitude sera

L'— L = z-, — r ((^sinV-i-t^'sinV'-i-. ..-t- wsinU).

sm