CARTES GÉOGRAPHIQUES

On ne saurait représenter sur un plan, en vraie grandeur, les figures tracées sur une sphère. Ces figures seront toujours plus ou moins altérées, quel que soit le mode de projection ou de développement adopté. Considérons, en effet, un élément plan infiniment petit de la surface de la sphère, et supposonslui la forme triangulaire. Ce triangle pourra être reproduit fidèlement sur la Carte, mais non les triangles voisins qui, sur la sphère, se rattachent au premier dans des plans différents. Il faudra les altérer sur la Carte pour qu'ils se rejoignent par leurs côtés communs sans déchirure ni duplicature. Ces côtés devront être dilatés ou rétrécis dans un certain rapport, lequel variera, en général, d'un point à l'autre de la Carte, et, autour de chaque point, suivant la direction.

Les systèmes de Cartes doivent changer selon les conditions que l'on impose à ces dilatations diverses. Supposons, par exemple, qu'un triangle ABC infiniment petit de la sphère devienne le triangle abc sur la Carte. La déformation linéaire dans

le sens ab sera -^-pî dans le sens perpendiculaire (celui de la

cd hauteur), ce sera ^tr' Si l'on choisit un système tel que, par

toute la Carte, l'un de ces rapports soit égal à l'inverse de

l'autre, c'est-à-dire si ■j— = —-=^ on en conclura Tégalité

a& X crf= ABx CD. Par suite, la somme des surfaces des triangles élémentaires qui composent une figure de grandeur finie sera la même sur la sphère et sur la Carte; les surfaces seront donc conservées. Telle .est la Carte de France, dite Carte de VÉtat-Major; les angles et les distances y sont légèrement altérés, mais non les superficies.

PROJECTION STÉRÉOGRAPHIQUE. aSj

Si l'on choisit un système de projection ou de développetnent tel que les deux rapports susdits soient égaux, les deux triangles élémentaires de la Carte et de la sphère seront semblables, et il en sera de même de deux figures infmiment petites quelconques tracées sur l'une et l'autre surface. Les angles seront donc conservés. 11 suffit que la dilatation soit la même dans deux sens rectangulaires ai, cd; cette condition étant remplie, elle le sera encore pour toutes les directions autour d'un même point.

Ce dernier cas est le seul qui intéresse la navigation. Nous en donnerons deux exemples, l'un par projection, l'autre par développement.

Projection stéréographique.

Prenons pour plan de projection un plan diamétral de la sphère; plaçons le point de vue en Z' à l'un des pôles de ce plan et construisons sur ce plan la perspective ou projection conique de l'hémisphère supérieur. Un point quelconque B, déterminé sur la sphère par ses coordonnées sphériques rap-

Fig. 57.

portées au point Z, à savoir

Distance zénithale. ... z = ZB, Azimut A — SZB,