COS - 2 COS

Les dilatations linéaires étant les mêmes dans ces deux sens, elles le seront dans toutes les directions intermédiaires. Les angles sont donc conservés sur ce genre de projection.

La dilatation varie néanmoins d'un point à l'autre de la Carte.

Vers le centre, où z = o, le rapport se réduit à i; en

2 cos^-

d'autres termes, dans cette région-là, les dimensions linéaires prises sur la sphère sont réduites de moitié sur la Carte. Sur fes bords, z = 90" ; le même rapport est égal à l'unité et les dimensions linéaires de la sphère se trouvent conservées dans cette région. Les surfaces varient aussi; réduites au quart vers le centre, elles sont égales à celles de la sphère sur les bords. En moyenne, la réduction des surfaces est^» puisque l'hémisphère supérieur est représenté sur la Carte par la surface d'un grand cercle de la sphère.

Ce qui fait le mérite particulier de cette projection, c'est que

PROJECTION STÉRÉOGR*PHIQtlE. sSg

les cercles de la sphère y soni représenlés par des cercles ( ' ), courbes faciles à construire avec exactitude. En effet, circonscrivons à la sphère, le long d'un de ces cercles, un cône, et mettons-en les génératrices ainsi que le cercle de contact en projection s téréographique. Puisque les angles sont conservés, les projections des génératrices émanant toutes d'un même point seront coupées normalement par la projection du cercle ; celte projection sera donc elle-même un cercle dont le centre, comme on le voit, ne sera pas du tout la projection du centre ou du pôle du cercle de la sphère, mais celle du sommet du cône circonscrit (Chasles).

Pour construire le canevas d'une mappemonde en projection sur un méridien, on remarquera que le méridien central aura pour projection la droite NS, l'équaleur la droite EO. Les divisions de l'équateur s'obtiennent en rabattant ce grand cercle sur la partie supérieure de la figure en ENO. Alors le point Fie. 58,

de vue se rabat en S. On divisera en parties égales le demicercle ENO et Von joindra les points de division au point de vue rabattu en S. Ces droites couperont la ligne EO et y traceront les divisions équaloriales du canevas (^). Par chacun des

(■) Ou par de» droite» dans le ci

(■) La division de o' i 3o° sera r Ung en ilési[[nBat par r le rajon de la sphèi

particulier où le cerciepasse par le point ig — ; celle de o°à 60' sera rtang —, ete.,

24o CÔAPITRE XXV. — CARTES GÉOGRAPHIQUES.

points de division et par les points N, S on fera passer un arc de cercle qui représentera le méridien correspondant. Les divisions du méridien central NS s'obtiennent de la même manière en rabattant ce méridien à gauche sur le demi-cercle NOS et en joignant les points de division au point de vue rabattu en E. Pour tracer un parallèle on fera passer un arc de cercle par les trois points de division de même colatitude.

On emploie aussi la projection surTéquateur. Les méridiens sont alors représentés par les rayons du cercle équatorial, les parallèles par des cercles concentriques à Téquateur. Au lieu de diviser graphiquement le méridien central, il est plus exact d'en calculer les diverses portions. Soit r le rayon adopté pour le cercle équalorial; on aura, pour les parallèles de io°, 20", 3o", ... de colatitude, rtang5°, rtangio", rtangi5*>, .... Comme on a introduit l'usage de ces Cartes dans la marine afin de remplacer la résolution numérique des triangles par une simple construction graphique, nous en dirons ici quelques mots. Voici d'abord plusieurs problèmes auxiliaires.

Faire passer un arc de grand cercle par deux points a etb. Par le point a menez le diamètre aO, puis la perpendiculaire OV à ce diamètre, et enfin la droite Va qui rencontre en A la circonférence de la Carte. Le diamètre AO rencontre ce

Fiç. 59.

cercle en c; menez Vc qui coupe aO en c'. Le point d appartient à la circonférence cherchée. Pour la tracer, il suffit donc de faire passer un cercle par les trois points a, i, c'.

Cette construction résout le problème de la navigation sur la ligne la plus courte entre deux points, c'est-à-dire sur l'arc de

PROJECTION STÉRÉOGRAPHIQUE. 24l

grand cercle qui les unit. Cet arc étant tracé sur la Carte stéréographique, on relève aisément les coordonnées de plusieurs de ses points, surtout si l'on se sert d'une Carte polaire; on reporte ces points sur une Carte marine, et on les joint par de petits arcs de loxodromie. Si l'on appliquait cette construction au cas traité à l'article Loxodromie, route de Fernambouc à Hobartown par l'est, on verrait que l'arc de grand cercle passe près du pôle sud et est par conséquent impraticable.

Trouver le pôle d^un grand cercle ab tracé sur la Carte, Ce grand cercle coupe celui de la Carte en deux points diamétralement opposés c, d. Le pôle p se trouvera sur le grand cercle projeté sur le diamètre Oe, perpendiculaire à cd. Faites

Fig. 60.

tourner ce grand cercle de manière à le rabattre sur la figure; le point de vue se rabattra en c, et, en menant ce, on aura en E le point dont la projection est e. Portez un arc de 90** de E en P; P sera le pôle cherché, et sa projection sera/?.

Trouver la vraie grandeur de rare ab. Il suffit de mener

Fig. 61.

par le pôle p de cet arc les droites pa et pb ; Tare AB sera

a42 CHAPITRE XXV. — - CARTES GÉOGRAPHIQUES.

la vraie grandeur de Tare ab. En effet, menons /?0C. La portion de sphère projetée en B/?C est une sorte de fuseau ayant pour arête la ligne PV, P étant le pôle de bc pris sur h sphère et V le pôle de BC. Il en résulte évidemment que Tare correspondant à bc sur la sphère est égal à BC.

Autour d^un point a donné sur la Carte, décrire m petit cercle de rayon sphérique z. Le point de vue étant rabattu en V, tirez Va; A sera le rabattement du point de la

Fig. 62.

sphère projeté en a. Portez Tarez en AB et AB', et construisez les projections b et V de ces deux points. Le petit cercle cherché devra être décrit sur ab comme diamètre.

Cela posé, voici la solution graphique de deux problèmes usuels dans la navigation astronomique.

1° En un lieu de colalilude X on a mesuré la distance zénithaïe z du Soleil, dont la dislance polaire est ô : trouver Theure, c'est-à-dire l'angle dièdre opposé au côté z du triangle PZS.

Prenez PZ = X et menez ZV. Le point z sera la projection du

PROJECTION STEREOGRAPHIQUE.

zénith el/7 celle du pôle. Décrivez autour de/? un petit cercle de rayon sphérique ô, et, par le problème précédent, construisez autour de z un petit cercle de rayon sphérique égal à la distance zénithale donnée z. Joignez le point de rencontre s de ces deux circonférences au centre /?, et mesurez Tangle spz au rapporteur; ce sera l'angle horaire M de l'astre observé.

2** En un lieu dont on ignore complètement les coordonnées géographiques, on a mesuré les distances zénithales z et z' de deux astres connus : déterminer la position de l'observateur sur le globe terrestre.

Fig. 64.

On suppose en outre connue l'heure de Paris. Pour cette heure, la Connaissance des Temps donne les coordonnées uranographiques des deux astres; on en déduit aisément les coordonnées géographiques des points A et B, auxquels ces astres répondent sur le globe terrestre à l'instant considéré. Soient a et 6 leurs projections sur une mappemonde polaire. On décrit le petit cercle ayant pour pôle le point représenté par a et pour rayon sphérique AA'=:AA''=:z; puis le petit cercle ayant pour pôle le point b et pour rayon sphérique BB' = BB'' = z'. Ces deux cercles se coupent en M et M', l'un sur l'hémisphère austral, l'autre sur l'hémisphère boréal (dans le cas actuel). L'observateur n'hésitera pas entre ces deux solutions, car il sait toujours d'avance sur quel hémisphère il se trouve. Par une construction soignée et à grande échelle on résoudra le problème à { de degré près. C'est la question des cercles de hauteur, qui sera amplement traitée plus loin.