CARTES PLATES

néralrice, el qu'on le développe sur un plan, on aura une Carte plate, excellente d'ailleurs pour les régionrs équatoriales, mais déformant considérablement les régions polaires, puisque le pôle y est représenté par une droite égale à Téquateur.

Il semble au premier coup d*œil que les angles y soient conservés, puisque les parallèles et les méridiens s'y rencontrent à angle droit comme sur la sphère; on a donc pu croire que les loxodromies y sont représentées par des droites coupant les méridiens sous les mêmes angles que sur la sphère. Mais les choses ne se passent pas ainsi : sauf les angles des méridiens et des parallèles, tous les autres sont plus ou moins altérés.

Nous avons vu en effet que la condition à laquelle toute Carte doit satisfaire pour conserver les angles, c'est que la déformation des éléments linéaires soit la même en tout sens autour de chaque point. Or, dans les Cartes plates, la déformation dans le sens d'un méridien quelconque est nulle, tandis que, sur un parallèle de colatitude X, les éléments rectilignes se trouvent dilatés dans le rapport de sinX à l'unité. En effet, les portions de parallèles comprises entre deux méridiens vont en diminuant sur la sphère, tandis qu'ils conservent même longueur sur la Carte à toute colatitude. Il en résulte qu'un cercle infiniment petit de rayon dk sur la sphère est représenté sur la Carte plate par une ellipse ayant dk pour demi-petit axe dans

le sens du méridien et -r— s^ pour demi-grand axe dans le sens

smA ^ °

du parallèle. Comme les diamètres conjugués (rectangulaires) du petit cercle de la sphère répondent, sur la Carte, aux diamètres conjugués de Tellipse, les directions ou les angles seront aisément calculés tout autour du point choisi comme centre (Tissot). La plus grande altération d'angle aura lieu entre les diamètres conjugués égaux. Soient U leur angle et dx leur longueur; on aura, par les deux théorèmes d'Apollonius,

\sin kj

(^a:sinU)2 = ^ x 4^ ^ ' sinx