DÉVELOPPEMENT DE MERCATOR
est -r— ; il fallait donc dilater aussi chaque élément dk d'un méridien dans le même rapport, c'est-à-dire transformer sur
la Carte chaque dk en -r-y Par suite, une portion finie du méridien prise entre les colatitudes 1 et V devient une somme
d'éléments dk diversement dilatés depuis -7—< jusqu'à . ^, \
sinA sin A
autrement dit, l'arc V— X de la sphère devient sur la Carte
l'intégrale de -t-^ prise entre les limites X et V . Nous avons
smA *^
déjà vu, à propos de la loxodromie, que cette intégrale ainsi
définie est
^tangÀ'— 4^tang>.
Mais ici le pôle ne saurait être pris pour origine, car tout arc compris entre o" elX' devient, sur la Carte,
c'est-à-dire oo . Les pôles sont donc rejetés à l'infini. Pour calculer l'espacement des parallèles, nous aurons recours à leurs distances à l'équateur en prenant l'intégrale ci-dessus de k à 90°, ce qui donne
4Ltang45-- 4:tang^ = ^i- ^tang^ = < cot^,
ou bien en introduisant les facteurs numériques destinés à exprimer le résultat en minutes au moyen des logarithmes ordinaires,
79i5',7o54^cot- (log. du fact.= 3,89849).
En voici le calcul de 10° en 10" :
logcot-»
loglogcot-»
logdist. à réq.
Dist. à l'éq.
Qo
a48 CHAPITRE XXVI. — CARTES MARINES.
Celle Table, plus développée, est employée par les marins sous le nom de Table des latitudes croissantes, parce que h distance d'un point du globe (de colalitude A) à l'équaleur, c'est-à-dire 90*» — 1, porte le nom de latitude / et se trouve représentée sur la Carte par
Par exemple, la latitude de 70°, qui répond à A = lio", est représentée sur la Carte par 99" 26'. On voit avec quelle rapidité Tespacement des parallèles augmente sur la Carte t mesure qu'ils s'écartent de l'équaleur.
Influence de Taplatissement.
Cette influence est minime; nous en parlerons néanmoins, afin de ne rien laisser à désirer à ce sujet. Sur l'ellipsoïde le^ restre, le rayon d'un parallèle de colatitude X n'est pas rsin). comme sur une sphère de rayon r, mais N sinX, N étant la grande normale dans la région considérée. Un élément de méridien n'est plus rdk, mais Rc&, R étant le rayon de courbure de l'ellipse méridienne. On a vu (p. 40^^'^^^ désignant par e l'excentricité de celle ellipse et par a son demi-grand axe,
D'après cela, l'expression -7-^ que nous avions à intégrer pour la sphère devient, pour l'ellipsoïde,
N3fi~^2)^X {i — e^)d\
^^NsinX sinX(i— e^cos^X)
Or 1 — ^2 divisé par i — e- cos^X donne pour quotient, quand on s'en tient aux termes en e^y
1—^2-4-^2 cos2> OU 1—^2 sin2> ;
INFLUENCE DE l'APLATISSEMENT. ^49
on aura donc, pour la différentielle ci-dessus,
smX '
dont l'intégrale, prise de X à 90", sera
4^tang45° — 41tang e'^ cos>,
ou bien, avec les facteurs numériques déjà employés,
79i5',7o51ogcot 3438'é'2cos>.
Il suffira donc de retrancher des nombres précédents les valeurs du petit terme en e'^.
Sur la sphère, Sur l'ellipsoïde,
\, lat. crolss. Deuxième terme. lat. croiss. Latitudes.
Il y a une autre nuance. Le rayon de la Terre, considérée comme sphérique, est, d'après les déterminations les plus récentes, de 6367 450""; par suite, Tare de i' sur un méridien ou sur réquateur vaut i852»",22. Pour l'ellipsoïde, le rayon dont on doit se servir est celui de l'équateur a^=^Çi 878 284'°.
L'arc de i' est, à l'équateur, ^,^,— = 1 855™, 38, tandis que
Tare de i' pris sur un méridien a pour expression .^ , — et
varie avec la colatitude entre i86i'",70 aux pôles et 1842"", 79 à l'équateur. Mais on n'introduit ces légères modifications que dans les Cartes géodésiques où l'on recherche la plus haute précision. Les Cartes marines, prises comme des instruments
95o CHAPITRE XSVI. — CARTES HARINBe.
de navigation, n'étant pas dans ce cas, il n'y a aucun inconvénient à y considérer la Terre comme une sphère parfaite et à adopter, avec le Bureau des Longitudes, r ^ 6 366 zoo" et i85i'",85 pour le mille.
Canevafl Bt usage des Cartes marines.
Occupons-nous maintenant du canevas. L'équateur y sen représenté en vraie grandeur; divisons-le, par exemple, de iff" en 10". Les méridiens seront des droites perpendiculaires à la droite équatorîale et passant par les points de division. Les parallèles seront des droites perpendiculaires aux premières dont l'espacement sera donné par les nombres ci-dessus calculés, à savoir
io°,o 20",4 3r,5 43">7 57%9 r5°,5.99°,4 ..., ou par ces mêmes nombres en millimètres si, dans la petite
Fij. 67.
figure ci-jointe, nous prenons i""" pour 1°. On construira ainsi un canevas jouissant des propriétés suivantes : 1° La dilatation
CANEVAS £T USAGE DES CARTES MARINES. 25l
4di*un élément linéaire de la sphère autour d'un point quel-
<îonque de colatilude X est -r— ^ dans toutes les directions ^ sinA
autour de ce point. Cette dilatation reste la même tout le long du parallèle de ce point; elle ne varie que d'un parallèle à l'autre. i^ Une figure infiniment petite de la sphère, tracée autour d'un point de colatitude X, est représentée sur la Carte
par une figure semblable; le rapport de similitude est -^^*
Il n'en sera pas de même des figures de dimensions finies. En effet, pour que deux polygones soient semblables, il ne suffit pas que les angles homologues soient égaux; il faut encore que les côtés soient proportionnels. Or la première condition est satisfaite, mais non la seconde, car la dilatation produite sur la Carte varie d'un parallèle à l'autre. 3*» Les arcs de loxodromie y seront représentés par des lignes droites, mais leurs éléments linéaires seront de plus en plus amplifiés vers les pôles. Ainsi, sur ces Cartes, pour tracer l'arc de loxodromie qui va du point b au point a, il suffira de tirer la droite ba. On aura son azimut loxodromique en b en mesurant au rapporteur Tangle de ba avec le méridien; mais la Carte ne donne pas la vraie longueur de cet arc. De là deux problèmes à résoudre graphiquement.
I® Étant donné sur la Carte un arc de loxodromie ba, trouver sa vraie grandeur en minutes ou en milles. Nous avons vu que sur la sphère l'arc de loxodromie AB, représenté par Vy donnait lieu à la relation
PCOsV = X' — >,
X' et ). étant les colatitudes de ses extrémités a et 6. La Carte donne une relation analogue
ba cosV = ba'.
Ainsi 7— = — i— ; — Si donc nous portons en bc' la vraie lonba ba
gueur de V — >, il sufiîra de tirer parc' une parallèle c'c k réquateur pour avoir en bc la vraie longueur de ba, c'est-à-dire
