bo. 0,0 36o. o»o

Angle P

du triangle PZf)

logtang<y.

logtangP. .......

logtang(;--çj).

OjiSgogw

logcosP. .

logsin^

logsécPZ^

logtangp.

CMogsin(>. — 'f,.

logtangZ^r

logtangPZ.ç

PZ^

iii«43',5

ZS — z 0«»42'il

Le point rapproché R étant à Topposite du Soleil, on devra le placer sur la Carte à l'ouest du méridien PZ par l'azimut ordinaire de iii°43',5.

3° Calcul du second point rapproché.

logtang^ logcosP. logtang^.

Hp-r-e'. 203.40, 9 L 128.29,3

36o. 0,0 P 27.49,8 (du triangle PZ^')

logtangP 9,72256 logtang(<;i — 9).

logsinç? 9,95317

C*Iogsin(A — 5?). 0,32020

logtangPZ^' 9»9959'^

PZ/ 44''43',9

logsécPZ/.. IpgtangZf.. .

Zs

Zs'-z\, ..

Même conclusion pour R' que pour R.

DROITES DE HAUTEUR DE M. MARC SAINT- IIILAIRE. 3l5

Opération graphique.

Fig. 78.

/tz

Les distances 4^',i et 63', 5 doivent être portées sur la Carte, non en vraie grandeur, mais à l'échelle des latitudes croissantes.

Évidemment cette méthode, en partie numérique, en partie graphique, est bien supérieure, comme exactitude, à la construction précédente des cercles de hauteur; mais, si on la compare à celle de Lalande (p. ^98), on voit que la vieille méthode mène au but plus rapidement, avec un type familier de formules qui n'exige aucune contention d'esprit. Au fond, le calcul des éléments de correction revient identiquement à déterminer les directions des tangentes aux deux courbes de hauteur, et ce calcul se fait à trois décimales ou au quartier de réduction. On n'a nul besoin de ramener la deuxième distance zénithale à Thorizon de la première, parce qu'on ne suppose pas que la seconde courbe de hauteur soit un cercle. * Enfin, s'il y avait lieu de procéder à une seconde approximation, la chose serait bien aisée avec l'ancienne méthode, tandis qu'elle serait fort pénible avec la nouvelle, puisqu'il faudrait presque tout recommencer en partant du point obtenu.

3l6 CHAPITRE XXXIV.— MÉTHODES NOUVELLES.

Autres manières moins exactes de construire les droites de hautenr.

La méthode précédente est basée sur ce que, la tangente à un cercle étant perpendiculaire au rayon, un point sufGt pour la construire quand on a la direction du rayon. Or, au lieu de calculer Tazimut du rayon Z^, il est plus facile de relever à la boussole Tazimut du Soleil S, ce qui revient exactement au même, puisque s n'est que la projection de S sur le globe \&restre. Secondement, au lieu de calculer ZR pour avoir un point du cercle de hauteur, il est plus commode de calculer un autre point dans le voisinage et de mener par ce point une perpendiculaire à Z^, dont on a observé la direction. A la vérité, cette perpendiculaire ne sera pas exactement une tangente au cercle, mais ce sera une corde parallèle à la tangente et très voisine de cette dernière. Il n'y aura donc pas un grand sacrifice d'exactitude à prendre cette corde pour droite de hauteur.

Quant à cet autre point du cercle de hauteur qu'il faudra toujours calculer, il y a ici un certain arbitraire. Le plus simple est de porter dans l'équation du cercle

cosz -~ - cos/ cos(î H- sinX siii<îcos(L h- Hp — e)

la valeur de la colatitude /( du point estimé Z et d'en déduin* une valeur L( de la longitude. On aura ainsi un point déierminatif à porter sur la Carte, et, à moins que l'estime ne soit très fautive, ce point sera proche du véritable point R. Il suffira donc de tracer sur la Carte une droite dans l'azimut obsené de s, puis de mener par le point déterminatif une perpendiculaire à celle droite. On construirait de même la seconde droite de hauteur, cl, par suite, on aurait, à leur intersection, la position occupée par le navire à l'heure H^, de la première observation.

Si la longitude estimée était mieux connue que la colatitude, il y aurait avantage à la porter dans l'équation du cercle à la place de L, et l'on en déduirait une valeur correspondante de ) à l'aide d'un angle auxiliaire 9. Les valeurs ainsi trouvées pour

DROITES DK HAUTEUR DU CAPITAINE SUMNËR. 3l7

X et L seraient les coordonnées d'un autre point du cercle de hauteur, plus ou moins voisin, comme le premier, du vrai point déterminatif R, et Ton s'en servirait pour construire une droite de hauteur. Mais, en opérant ainsi, on ne sait pas bien ce qu'on fait et sur quoi Ton est en droit de compter. Nous ne nous arrêterons donc pas davantage à ces procédés; mais, avant de quitter ce sujet, il sera bon de faire ici Thistorique de ces droites de hauteur, pour montrer dans quel cas elles peuvent réellement rendre service.

Droites de hauteur du capitaine Sumner.

Ce capitaine se trouvait en 1837 près de la côte d'Irlande (à destination de Greenock) sans avoir pu faire d'observation astronomique depuis qu'il avait dépassé le méridien de 3i8**3o'. Dans la nuit du 17 décembre, lèvent ayant passé au sud-est et l'estime donnant 4oo milles du phare de Tuscan, avec la terre sous le vent, il gouverna est-nord-est, serrant le vent le plus possible. Quand le jour parut, rien n'élait encore en vue. Vers 10^ 3o™ seulement, le commandant put prendre une hauteur du Soleil. Avec le chronomètre (un bon instrument), il calcula sa longitude et trouva 339° 43' ; mais, comme il avait fait près de 700 milles sans une seule observation, la colatitude employée dans le calcul de l'heure ne méritait aucune confiance. Pour apprécier l'effet d'une erreur possible en colatitude, il calcula encore deux autres longitudes, en partant chaque fois d'une colatitude de 10' moins grande. Les trois points ainsi obtenus ayant été marqués sur la Carte, Sumner remarqua qu'ils se trouvaient sur une même droite dirigée estnord-est et aboutissant au bateau-phare de Small,et comme son vaisseau devait se trouver sur cette droite ( bien entendu dans la supposition d'une erreur nulle pour le chronomètre), la route est-nord-est fut maintenue, et le capitaine Sumner eut la satisfaction de se voir bientôt en vue du phare de Small.

Plus tard, le capitaine américain vit qu'il y avait là un moyen simple de résoudre le problème de Douwes. Supposons-nous

3l8 CHAPITRE XXXIV.— MÉTHODES NOUVELLES.

en pleine mer. La droite de hauteur fournie par une observation unique, loin des côtes, n'aura plus d'intérêt; inais,sile navigateur réussit à obtenir une seconde observation à un intervalle suffisant de la première, il n'aura qu'à calculer de la même manière une seconde droite de hauteur sur laquelle le navire devra se trouver tout comme sur la première, et il n'y aura plus qu'à marquer leur point d'intersection. Ces droile> ne seront pas des tangentes aux cercles de hauteur, mais de? sécantes tout aussi aptes que les premières à remplacer ce> courbes.

ZY étant le méridien du point estimé et Z ce point lui-même, on calcule par l'équation (i) la longitude L|,qui répond, sur le cercle de hauteur, à la colatitude >< du point Z. On oblieni ainsi, par un simple calcul d'angle horaire, la longitude d'un point B de ce cercle de hauteur. Puis on augmente de lo' ou de 20' la colatitude du point Z, et Ton calcule pour le parallèle YC la longitude Lo d'un second point C du même cercle. BG sera la droite de hauteur du capitaine Sumner.

On opère de même pour le second cercle de hauteur, doiii r équation est

cosz'-- cosX'coscî''-+- sinVsin(y'cos(L-HHp — e' -f- AL\

c'est-à-dire on donne à 1' pour première valeur la colatitude estimée à la seconde station 1\ et pour seconde valeur T!^ cetle colatitude augmentée de 10' ou de 20'. On détermine ainsi deux points B' et C'du second cercle de hauteur, et l'on trace ly

APPLICATION DES DROITES DE HAUTEUR. Sig

sécante B'C sur la Carte. Dans rintervalle H'^— H^, des observations, le navire a décrit un arc de loxodromie dont les éléments sont V et V. Il faut donc, pour trouver les positions du navire à l'instant de la première et de la seconde observation, insérer entre les droites de hauteur BC, B'C une ligne droite de longueur i^ et d*azimut V, c'est-à-dire égale et parallèle à ZZ'. On mènera par un point quelconque B de la première une *droite Bj3 égale et parallèle à ZZ', et par le point (3 une parallèle ^h à BG qui coupe (S'C en F. En menant PT parallèle à ZZ', ces deux droites seront égales et les points P, F seront les lieux du navire aux heures H^, et H'^. On se dispense ainsi de ramener la seconde distance zénithale à l'horizon de la première.

Tel est le procédé des droites de hauteur qui a été proposé par le capitaine Sumner. Il est plus simple que tout ce qu'on a imaginé après lui. Mais, si on le compare à la solution ordinaire des équations du problème par parties proportionnelles (p. 294), il est facile de voir que, au moment où l'on a calculé pour ces deux droites les quatre points B,C, B',C' qui les déterminent, on a suivi identiquement la même marche que par l'ancienne méthode, et fait plus des neuf dixièmes du travail exigé, car il ne resterait plus qu'à calculer une quatrième proportionnelle aux nombres Xi — )/,, L< — L2, L'^ — Lg. Or la construction graphique du capitaine Sumner équivaut précisément à celle de cette quatrième proportionnelle, plus les erreurs attachées à l'usage de la règle et du compas. Il n'y a donc là, quand on envisage uniquement le résultat, aucune idée nouvelle, aucune économie de temps ou de calcul, mais un résultat moins exact.

Utile application des droites de hauteur au lever sous voiles.

On comprend bien que les personnes à qui le calcul répugne aiment à lui substituer une construction graphique comme celle que nous avons donnée plus haut, mais l'emploi des droites de hauteur exige tout autant de calcul que les anciennes méthodes ; nous ne saurions donc les considérer comme un