CONDITIONS D^EXACTITUDE

Terre, distance que nous désignerons par d. Dans le premier cas, les côtés ZL<, ZS| du premier triangle seront les dislances zénilhales'apparentes des deux astres, affectées de la réfraction ; dans le second triangle, les côtés ZL, ZS en seront les distances vraies et géocentriques. Ces deux triangles, qui ont l'angle (A) commun, nous donnent

( I ) cos(^i = coszi cosz'i -f- sinzi sinz', ces (A),

(•2) cosc^ = cosz cosz' -H sinz sinz' cos(A).

Les distances zénithales z, z', Zt, :i^ sont connues; il suffira donc d'éliminer cos(A) entre ces deux équations pour avoir à, c'est-à-dire la distance géocentrique des deux astres, celle qu'on doit comparer aux distances calculées d'avance dans la Connaissance des Temps pour obtenir l'heure de Paris.

Évidemment la difficulté de ces calculs ne gît pas dans la combinaison des équations (i) et (2), bien plus faciles à résoudre que celles du problème de Douwes, mais dans le détail des corrections de réfraction et de parallaxe qu'il faut appliquer ici. Nous allons voir, en effet, que ces corrections doivent être obtenues avec plus de précision qu'on n'en apporte d'ordinaire dans les calculs d'Astronomie nautique, et qu'on ne saurait se dispenser d'y tenir compte de l'aplatissement du globe terrestre.

Conditions d'exactitude.

Notre attention doit se porter en premier lieu sur Terreur commise dans la mesure de (?«. En différentiant (1) et (2) par rapport à dy d\ et (A), puis en divisant les résultats membre à membre, on trouve

,, sinz sinz' %mdx ,,

aO = —. -, r — ; r dOt .

smzismzi smo

Pour le Soleil, dont la parallaxe est très faible, la réfraction l'emporte sur la parallaxe; aussi avons-nous placé S au-dessous de Si dans la figure précédente (c'est l'inverse pour la Lune).

Le rapport -; est donc plus grand, mais à peine différent

de Tunité. De io° à 70° de distance zénithale, il varie de 1 , 000254 à 1 , 000257 . Le rapport analogue pour la Lune est plus petit que i et varie de i à 0,982. Il en est de même de

-; — ^3 et sa variation est encore plus faible. Concluons delà sind

qu'une petite erreur ddi commise dans la mesure de la distance apparente se reportera avec son signe et presque sans allération (tout au plus de un ou deux centièmes) sur la distance conclue d. Si donc on négligeait, au commencement du calcul, d'apporter quelque petite correction à d^ il serait permis de rappliquer après coup à d.

Considérons en second lieu les erreurs des distances zénithales; pour cela, exprimons d — di en fonction des différences z — Zi, z' — z'i^el, pour abréger, désignons-les par les lettres x, a, a'. Remplaçons, dans Téquation (2), d, z, z' t^^t di -\-Xy Zi-\- a, z'f -+- a' ; développons les sinus et cosinus en traitant x, a, a' comme de petites quantités dont les cosinus peuvent être remplacés par i et les sinus par les arcs correspondants. Il viendra ainsi

cos di — a: sin di = (cos zi — a sin zi ) ( cos zf^ — a' sinz'i )

(sin-3i-H acoszi)(sia z'^ -h a'cosz'j)cos(A).

Effectuons les multiplications en omettant les carrés et les produits deux à deux de x, a, a'. Après avoir supprimé les termes qui se détruisent en vertu de Téquation (i), on aura

^sinc^i = a [sinzi coszi — coszi sinz^ cos (A)] -+- a'[sin2'i coszi — cosz'i sinzi cos( A)].

Or le triangle ZS« L| donne

sinc^i cos Si = sinzi cosz'i — coszi sinz'i cos (A), sinc^i sinLi = sinz'^ coszi — cosz'j sinzi cos (A).

La relation précédente se réduit donc à

X = a COsSi -i- a' COsLi.