CONDITIONS D*EXACTITUDE
Ainsi la réduction x de la dislance apparente à la distance géocenlrique dépend uniquement de a et de a', c'est-à-dire des corrections de réfraction et de parallaxe z — z< , z' — • /^ , et elle est moindre que leur somme. Toute erreur portant sur z et Z| à la fois, ou sur z et z'^ , sera sans influence, à moins qu'elle ne soit assez grande pour fausser notablement les angles Li et Si, ce qui est inadmissible. Il faut donc calculer avec soin les corrections susdites de réfraction et de parallaxe, et ne pas oublier que toute erreur finale commise sur à se reportera sur la longitude conclue avec le facteur 27 s'il s'agit d'une distance de la Lune à une étoile et le facteur 29 s'il s'agit d'une distance luni-solaire. Mais on comprend en même temps la supériorité de cette méthode sur la précédente (p. 328), car il n'y a ici qu'une seule erreur d'observation dont l'effet soit agrandi par le facteur 27, à savoir l'erreur de Ôk , mesure où l'on atteindra la précision de o',i par le cercle de Borda.
Cette même relation conduit à deux autres conséquences importantes. La première est qu'il n'est pas nécessaire de mesurer les distances zénithales apparentes Z\ et z'i des deux astres : il suffit de les calculer avec les éléments de l'estime (à moins que le Soleil ne soit bien placé pour donner l'heure du bord). Lorsqu'on se décide à les observer, il faut qu'elles répondent à l'instant où l'on mesure la distance d\. Trois observateurs sont alors nécessaires pour déterminer, en même temps, l'un la distance et les deux autres les hauteurs. S'il n'y a qu'un seul observateur, il devra mesurer les hauteurs une première fois, puis la distance, enfin les deux hauteurs une seconde fois, afin que la moyenne des hauteurs soit sensiblement contemporaine de la distance. Mais comme la partie délicate est toujours l'observation, il faut avant tout simplifier celle-ci, et nous supposerons, dans cette étude, que les efforts de l'observateur se sont concentrés exclusivement sur la mesure de la distance. Nous calculerons donc z et z', Z| et z'i .
La seconde conséquence est que la distance d\ n'a besoin d'aucune correction lorsque les angles L|,S< du triangle ZLi S< sont à peu près droits. On aura alors l'heure de Paris sans
calcul, en comparant immédiatement cette distance à celles de la Connaissance des Temps, C'est ce que le commandant Richard nommait des équidîstances, voulant dire par là que les distances lunaires, mesurées dans ces conditions, étaient égales aux dislances géocen triques. Il allait même plus loin et faisaitremarquer que, même dans le cas où S< serait très différent d'un droit, la correction a'cosSi ne dépasserait pas i', à moins d'une distance zénithale du Soleil plus grande que 60°, et qu'alors on aurait, sans calcul, la longitude à 29' près, ce qui serait encore bien heureux pour les navires de commerce, qui, souvent, ignorent absolument leur longitude. En réalité, les deux angles L< et S< ne peuvent guère être droits tous les deux, car l'astre de comparaison est généralement pris sur la trajectoire apparente de la Lune, laquelle est plus ou moins inclinée sur l'horizon; toujours est-il que l'on doit signaler comme une circonstance éminemment favorable le cas où l'angle L< serait assez peu éloigné de 90®. L'inverse serait celui où les deux astres seraient vus dans le même azimut; alors la correction de di atteindrait son maximum a -{-a', c'est-à-dire la somme des parallaxes moins celle des réfractions.
Correction de réfraction à appliquer au demi-diamètre apparent.
C'est ce qu'on nomme raccourcissement du demi-diamèlre réfracté. Ce qu'on mesure, c'est la distance des bords de lens: on en conclut celle des centres Li S< = d^. La réfraction transformant les disques circulaires du Soleil et de la Lune en ellipses plus ou moins aplaties, le rayon S«^ n'est plus le demidiamètre angulaire du Soleil -J-Ao mais bien
iAi(i— ^cos^Si),
comme nous l'avons vu au Chapitre de la réfraction (p. 71)' en négligeant a, et en désignant par Si l'angle en S| du triangle ZiLi S|. De même pour la Lune, ^A', devra être remplacé par
{A'|(i-^p'cosîL,);
CORRECTIONS DE LA DISTANCE GEOCENTRIQUE d, 887
dp est ici la variation pour i' de la réfraction p prise dans la Table III. A chacune de ces corrections —dg cos^Si ou
Fi{j. 81.
Hot't xo»
— ^rfp'cos^L* on pourra ajouter o'^'27 pour tenir compte d'un
petit terme constant donné par la théorie. Ne pas oublier, en
faisant le produit — dp, que — doit être exprimé en minutes
et fractions de minute.
L'angle S< s'obtient par
cosz'i = 008(^1 008 zi -h sinc^i sinzi C08Si,
d'où l'on tire
r, COSZ', 008 Zi
smzi cosSi = -^J —
sinc^i langeai Il sufGt de calculer à trois décimales. De même on a
. , COSZi 008 z'i
sm Z| cos Li = -: — r 7 r •
Ainsi à la distance des bords on ajoutera, pour avoir di, la somme
jAi — i Al ^p 008» Si — o",27 -h ^^\ — ^^\ cip'cos^U — o^^y.
Corrections de la distance géocentrique à.
Il y en a deux fort importantes : la première est relative à la parallaxe de N en 0, la seconde à Terreur des Tables de la Lune.
Première correction. — En calculant la parallaxe pour passer de z' à ^^, nous avons transporté de M en N rorigine des coordonnées. Il s'agit ici de remonter de N en 0, point auquel se rapportent les distances lunaires de la Connaissance
Fig. 82,
des Temps, Soient OB le rayon arbitraire de la sphère céleste
dirigé dans le sens de la ligne des pôles, / la Lune, s le Soleil,
ce dernier étant placé sur la ligne NS à une distance presque
infinie par rapport au petit déplacement NO. Désignons par L
et L' les projections de la Lune / sur la sphère céleste^ suivant
que cet astre est vu de N ou de 0. Le petit arc LL' sera, sur
le méridien céleste BL, la parallaxe due à ON. Son expression
est donc P.ONsinô'. Il en résultera une petite variation dans
le côté LS =: d, qui deviendra L'S.On obtiendra cette variation
en diiférentiant par rapport à ô' et à d Téquation du triangle BSL,
dont l'angle en B est la différence d'ascension droite des deux
astres :
cos(^ — cos^cos<î'-i- sin^sin^'cos(iR).
On a ainsi
smâdô — [cos^^sin^'— sin(?cos(î'cos(iîl)]r/^',
et, comme on a aussi, dans le triangle BSL,
sin () cos ^ — cos(? sincJ' - sine? coscî' cos( if{ ),
BÉCAPITULATION DES FORMULES. SBq
Texpression différentielle se réduit à
dd = (iS'cosJC= P. ON sincî' cos .t- On aura cos ^ par
cos(? = cos()cos^4-sin()sm(rcos4^, et Ton en déduit
\smd iangdj
Cest la formule de Borda. Le coefficient P. ON atteint 12,'^ vers 3o*» ou i5o° de colatitude et s'annule à Téquateur.
Seconde correction. — On a, pour calculer les distances lunaires de la Connaissance des Temps, à résoudre le même triangle qui donne
cos<)= cos(ycos(y'H-siii(?sin(y'cos(iR).
Différentions-la par rapport à (? et à (^r) : .
sinddd = sin(ysin(y'sin(iR)^iR,
dJR étant Terreur de l'ascension droite de la Lune. On en tire
dd = sinô' sinJ^dM.
En 1878, d^ =: 12" à retrancher des M tabulaires de la Lune. Il faudra donc retrancher i2''sin5' sin^de toutes les distances lunaires de la Connaissance des Temps, ou, ce qui seul est praticable, ajouter i2"sin<J'sin4^à la distance observée (géocentrique) pour la rendre comparable à celles de la Connaissance des Temps.
Bécapitulation des formules.
Réunissons maintenant ces formules pour mieux apprécier la marche du calcul; nous donnerons plus loin une méthode aussi rigoureuse, mais un peu plus simple.
1° Prendre les éléments suivants dans la Connaissance des Temps :
Soleil.
Table II.
Lune.
ON
JR',
iA.
2^ Calculer les dislances zénithales (cinq décimales) :
Lune.
Soleil.
cos2=cosX coscJ + sin> sincî cosiH.
/H. = rl^ — Jlx ,
cosz'= cos>cos<y'-hsinXsin(î'coSifl'.
3" Réfraction, parallaxe, demi-diamètre :
Soleil.
p Conn, des Temps ^
p Table III,
yA= jAi.. Conn. des Temps ^
zi= z-i-p — p.
Lune.
\ ;?'=NPsinz', ^ î p =NPsin(z' +/?'), p\ pour z'-h p Table III,
smz
4"* Accourcissement des demi-diamètres (trois décimales):
d^ provis. = dist. des bords -+- {Ai -+- ^A'^.
Lune.
|AVp'cos»Li.
Retrancher du Ôk provisoire
Soleil.
{Ar/pcoS^Si.
|Ar/pC0S2Si-hiAV/p'C0S2Li-4-o",54 (1).
5° Calcul de d vu du point N (sept décimales) : (i) cos()i= coszi cosz'i -+- sinsi sinz', cos(A),
cos() = cosz cosz' -h sinz sinz' cos(A).
6*» Correction pour ramener d de N en (trois décimales) :
ajouter à à
P.ONsinry'cos4L (2).
(*) On déduit S, et L, du triangle ZL^Sj par les formules
sin^j cosS, =
CCS s ,
-: — r ^ r- et sin z, cos L, = -: — -i L
sinc^j tangdi sin(^, tangc^j
(') On déduit l'angle ^du triangle BLS par la relation
cos^ = cos()cos^' 4- sin()sin<y'co8^
La formule P. ON sin J'cosJ^ se réduit à P. ON f ^ - £^i£l V
