RÉSOLUTION DES TRIANGLES SPHÉRIQUES

Résolution des triangles sphériqnes.

On peut donner :

i** Les trois côtés;

a® Les trois angles;

3** Deux côtés et l'angle compris;

4® Deux angles et le côté commun ;

5*> Deux côtés et Tangle opposé à Tun deux;

6*» Deux angles et le côté opposé à Fun d'eux.

Les deux premiers cas sont tout résolus par lés groupes (i) et (5) ou, si Ton tient à des formules calculables par logarithmes, par les formules (8) et (9). Les deux cas suivants se ramènent aux premiers par les formules (i) ou (5). Enfin les deux derniers se ramènent aux précédents par les formules [3] y c'est-à-dire par les analogies de sinus.

Il est plus avantageux d'appliquer les analogies de Neper aux quatre derniers cas. Si, par exemple, les données sont 6, c. A, on calculera B et C par les analogies (16) et [17), puisa par l'analogie (18). Si les données sont fc, c, B, on obtient C par une analogie de sinus et A par une des analogies de Neper.

Les quatre premiers cas ne donnent lieu à aucune discussion. Avec trois arcs ou trois angles pris au hasard (sous les restrictions indiquées au début de ce Chapitre), on n'aura ni valeurs imaginaires ni solutions multiples. Il en est autrement des deux derniers cas. Là intervient l'analogie des quatre sinus; par conséquent, un des éléments cherchés ne se trouve déterminé que par cette ligne trigonomélrique. Or à un sinus répondent toujours deux arcs supplémentaires plus petits chacun que 180**. Supposons, pour fixer les idées, les données a, b et B. Le triangle sera impossible si l'analogie calculée fournit pour sinA un nombre plus grand que l'unité. Dans le cas contraire, il y aura deux valeurs pour A, et alors il faudra exa* miner si elles cadrent toutes deux avec les données. En effet, dans tout triangle, de deux côtés le plus grand doit être opposé au plus grand angle. Il en résulte que B — A doit être de même signe que b— a. &i les deux valeurs trouvées pour A satisfont

à celle condilion, il y aura deux solulions, aulremenl il n'y en aura qu'une.

C'esl d'ailleurs ce que l'on voil de suile par une conslruclion graphique. Soil B l'angle donné; sur un de ses côlés, porlons l'arc a en BC el du poini C comme cenlre décrivons sur la sphère une circonférence. Si elle ne rencontre pas le côté indéfini BA, il n'y aura pas de solulion. C'esl le cas où b esl plus pelil que la perpendiculaire CP. Si elle rencontre le côlé BA en deux points A et A' du même côté de B, il y aura deux solutions, savoir les triangles CBA, CBA'. Si cette même circonférence coupe BA en deux points situés de part et d'autre de B (c'est le cas où fc>a), il n'y aura qu'une solution.

Ces circonstances ne tiennent donc pas du tout à l'emploi d'une analogie de sinus : on les retrouverait en prenant d'autres formules. Nous pourrions, par exemple, calculer c par une des équations (i),

cos^ — cosrt cosc -+- sïna sine cosB, en posant

cosa — m CCS y, sinacosB = /72sin<p,

ce qui la transforme en

cosb — m cos(^ — c).

Mais, comme c s'obtient alors par un cosinus, il y a encore deux solutions en général, non qu'il y ait deux angles admissibles pour cos((p -— c), mais parce que la formule précédente s'écrit indifféremment par 9 — c ou c — 9. Si par le cos (9 — c) tiré de cette équation les Tables donnent 25°, on aura pour c deux valeurs qui différeront entre elles de 5o*».

Le cas que nous venons d'examiner se présente dans la pratique de la navigation lorsqu'il s'agit de déterminer la colatitude par la mesure de la dislance zénithale d'un astre connu, ou bien encore dans le problème de Douwes. Mais il n'y a jamais lieu d'hésiter entre les deux solutions que le calcul présente, car l'observateur a toujours d'avance, par l'estime, une valeur approchée de l'élément cherché.