DEGRE DE PRÉCISION DES CALCULS
Degré de précision des calculs.
Il dépend du nombre des chiffres décimaux de la Table que Ton emploie. Le dernier chiffre de chaque nombre pris dans la Table est affecté d'une erreur comprise entre zéro et une demiunité du dernier ordre décimal. Dans ces limites, toutes les erreurs sont également probables. Ces erreurs sont indifféremment en plus ou en moins. Il résulte de là celte conséquence importante que, si Ton combine par voie d'addition ou de soustraction un certain nombre de logarithmes pris dans la Table, leurs erreurs se compenseront en grande partie. Sans doute il n'est pas impossible, en thèse absolue, qu'elles se rencontrent toutes de même sens et de grandeur maximum, en sorte que la somme de vingt logarithmes, par exemple, soit en erreur de près de dix unités du dernier ordre décimal, mais on prouve, par le Calcul des probabilités, que celle d'une telle accumulation d'erreurs est extrêmement faible ; il y a
à parier contre un qu'elle ne se produira pas ( * ). Ainsi, bien que les erreurs petites ou grandes (toujours inférieures à o,5) aient même probabilité quand il s'agit d'un logarithme isolé pris'dans la Table, les petites erreurs sont bien plus probables que les grandes quand il s'agit d'un calcul basé sur l'emploi de plusieurs de ces logarithmes.
A la vérité, l'erreur propre de l'interpolation s'ajoute à l'erreur des Tables et fait varier celle-ci entre zéro et i . Elle double ainsi l'erreur à craindre sur le résultat final. On peut néanmoins évaluer à ±2 unités, en moyenne, l'erreur à craindre par l'emploi d'une dizaine de logarithmes, ce qui répond aux calculs usuels de Trigonométrie et de transformation des coordonnées.
Pour apprécier l'effet d'une erreur de deux unités du dernier ordre sur l'angle conclu d'un logarithme de sinus, il suffit d'exa-
(*) Introduction aux Tables de Bremiker, p. ôg.
miner dans la Table les différences qui servent à rînlerpolalion. Pour log sini°, par exemple, la différence est 717 dans les Tables à cinq décimales; une erreur de deux unités sur ce logarithme produira donc une erreur de jjj de minute. Les différences vont en diminuant à mesure que Tare augmente; à 45°, l'erreur sera de^j^ de minute ; à 80®, elle atteint T entière; elle ira à 5' ou 6' vers 89". Ainsi le sinus d'un angle, excellent pour déterminer cet angle quand il est de médiocre grandeur, ne vaut plus rien quand cet angle est voisin de 90°.
Il en est de même, mais en sens inverse, du cosinus. Seule la tangente est partout avantageuse. *Elle vaut tout autant que le sinus quand l'angle est voisin de 0°, tout autant que le cosinus quand il est voisin de 90" ; elle donne deux fois plus de précision que le sinus ou le cosinus dans l'endroit le plus défavorable de la Table, c'est-à-dire à 45*", où les différences des logarithmes des tangentes atteignent leur minimum. En cet endroit, en effet, une erreur de deux unités sur le logarithme d'une tangente
produit une erreur de -^ sur Tangle conclu, tandis qu^elle
^' rait de -77 par le sinus ou le cosinus.
Les formules qui donnent l'arc cherché par sa tangente sont donc les meilleures; aussi s'attache-l-on à modifier en ce sens celles qui aboutissent à des sinus ou des cosinus, lorsque cela est possible. Nous avons vu que les formules de transformation des coordonnées aboutissent à des tangentes. Tels sont aussi les groupes de formules (4), (7), (8) et (9) des triangles sphériques. Pour en donner un autre exemple, supposons que l'on ait à calculer la coordonnée Al par l'équation
cosz = cos> cosiy -h sin> sin(? cosAî ;
Al on remplacera successivement cos^ïï par i--2sin2 — et
icos^ 1, puis on divisera membre à membre, ce qui
donnera
M , /cos z — cos [0 — /.) tang — = db 4 / •
'2 Y cosz — COS(d-+-A)
CHOIX DES TABLES. — HABITUDE DU CALCUL. 2g
Ici nous laissons le double signe, parce que la coordonnée M varie de o° à 36o**. On prend le signe — quand on sait d'avance que M est dans le troisième ou le quatrième quadrant.
Choix des Tables.
Quant au choix des Tables, il dépend du degré de précision que Ton a en vue. En Astronomie ou en Géodésie on lient compte des dixièmes de seconde; la variation du logarithme de tangente étant au minimum de quarante-deux unités pour i'' dans les Tables à sept décimales, une erreur de deux unités du
dernier ordre sur le logarithme trouvé peut produire y- ou o'',o5
d'erreur sur Tare conclu. On aura donc recours à ces Tables, et quelquefois à des Tables encore plus étendues. Pour les calculs nautiques, où Terreur probable des meilleures observations dépasse certainement o' , i , on se contentera des Tables à cinq décimales, qui, dans les cas les plus défavorables, ne donnent lieu, toujours pour deux unités d'erreur sur le logarithme, qu'à 'Y^ = o',o8 d'erreur sur l'angle conclu. Si l'on ne tient pas au^ 8' ou lo', on se contentera de trois décimales. Il va sans dire que les calculs sont d'autant plus rapides que l'on y emploie moins de chiffres.
Dans certains cas (les dislances lunaires), nous aurons néanmoins recours aux Tables à sept décimales. Celles de Bagay, de seconde en seconde, dispensent de toute interpolation.
Habitude du calcul.
Cette habitude est facile à prendre. L'essentiel est de procéder avec ordre; autrement on fait des fautes et Ton se décourage. Il faut diviser le travail. On commence invariablement par dresser le Tableau des calculs. Soit, par exemple, la formule de triangle quelconque
* A /s tang- = Y/-
sin ( .V — h ) sin ( .v — c ) smssm{s — a)
3o CHAPITRE III. •— TRIGONOMÉTRIE SPHÉRIQUE.
On dispose les différentes opérations de la manière suivante :
a logsin(j— h]
h logsin(f — c)
c CMogsinj
is C*Ioo:sin(.v— n\
'- log tang2 -
^ ^ log tang -
Vérif. somme = *
Cela fait, il ne reste plus qu'à y porter les données et à prendre les Tables en main, sans se préoccuper d'autre chose que de ne pas commettre d'erreur de transcription. En général, il faut vérifier chaque addition ou soustraction en recommençant l'opération en ordre inverse, surtout lorsque l'on est resté quelque temps sans calculer.
Une dernière recommandation, c'est d'acquérir l'habitude de prendre les logarithmes dans la Table sans y regarder à deux fois. Soit, par exemple, le logarithme tabulaire de 8737,7, c'est-à-dire 3,53627. On le lit en trois parties :
trois... cinq cent trente-six... vingt-sept.
Quand il a été ainsi énoncé mentalement, on le retient fort bien; on ferme la Table et on l'inscrit. De même pour le logarithme à sept décimales de 206265 ou 5, 3 1 44^5 1 ; on lit
cinq... trois cent quatorze... quarante-deux... cinquante et un.
et il reste dans la tête assez longtemps pour qu'on le transcrive sans avoir besoin de reconsulter la Table. Quant aux compléments, rien de plus facile que de les lire à vue dans les Tables, sans calcul séparé.
Les petites Tables de Lalande, à cinq décimales, suffisent à tous les calculs nautiques, sauf à celui des équations (i) et (2) du Chapitre des distances lunaires. Nous n'en emploierons
RÉDUCTION DES FORMULES EN SÉRIES. 3l
pas d'autres. On prendra de lêle, le plus souvent, les parties proportionnelles. Cependant il est parfois plus commode de recourir aux grandes Tables, tout en calculant à cinq décimales, afin de supprimer toute interpolation.
Réduction en séries des formules trigonométriques.
Lorsqu'une formule contient de petits arcs, on trouve avantageux de la développer en série suivant les puissances ascendantes de ces petits arcs, parce qu'alors il est permis de réduire la série ainsi obtenue aux deux ou trois premiers termes, suivant les cas. Bien que nous ne devions faire qu'un usage fort restreint de ces développements, nous indiquerons la marche que l'on suit en général pour les obtenir et les précautions à prendre pour les utiliser.
Une fonction quelconque j=:/(.r) delà variable â? peut être développée en série suivant les puissances ascendantes de x. En désignant par/'(^'), f"[x),f"'{x), ... les dérivées successives de cette fonction, et par /(o), /'(o), /"(o), ... les valeurs que prennent celte fonction et ses dérivées quand on v fait .r = o, on a
pourvu que celte fonction et ses dérivées restent continues entre zéro et ;r,etque la série elle-même soit convergente. Par exemple, l'équation
sinPsinz
relative aux triangles rectilignes (elle figure plus loin au Chapitre des parallaxes), contient un terme très-petit, sinP. Pour développer p en série selon les puissances ascendantes de sinP, posons sinP = ^ et écrivons
.r sinz p — arc tang
I — xcosz
3a CHAPITRE III. —TRIGONOMÉTRIE SPHÉRIQUE.
La dérivée première de p par rapport à x sera
sinz
I — 2j:cosz -+-ar*
On calculera de même les dérivées seconde, troisième, etc. Puis, faisant x = o dans la fonction et ses dérivées, on trouve successivement
/(o) = o, /'(o) = sinz, /"(o) = sin2z, /"'(o) = asinSz, ...;
par suite,
p = J7sinz-+- — sinaz -h '-- sinSz-H. . .
OU
p = sinPsinz-h jsin2Psin2z-H \ sin'Psin3z-4-
Une autre manière de développer en série les formules trigonométriques consiste à y remplacer les sinus et cosinus des petits angles par les séries que nous avons rappelées au début de ce Chapitre, en s'arrêtant aux termes que Ton considère comme négligeables. Soit, par exemple, Téquation du triangle ABC,
rectangle en A,
tangc = tangfl cosB.
Si B est assez petit pour qu'on soit en droit de négliger — j on
a, en remplaçant cosB par i,
tangc = tangff, d'où c — a.
Si — est sensible, on écrira
tang c = tang« ( i j ;
par suite,
tangfl — tangr = - - tanga.
Divisons le premier membre par i -f- tanga tangc et le second membre par i + tangua, qui n'en diffère pas sensiblement; on
aura
tanfffûf — c) ou a — c = — sin« cos« = -t- sm2<7, ° 2 4
aux termes près du quatrième ordre en B.
Les astronomes, qui font un usage assez fréquent de ce dé-
