TT

OU bien encore, pour la transformation inverse,

i" = — -—— — 0,00000484814, le rayon étant i, i' = irnrz = 0,000290888,

Si donc un arc est e^tprimé en secondes, on le divisera par 206265" pour Texprimer en parties du rayon. Si au contraire cet arc est exprimé en parties du rayon, comme dans les formules précédentes, on le multipliera par 206 ^65'' pour l'obtenir en secondes.

Par exemple, dans la série qui donne/? en termes procédant suivant les puissances ascendantes du sinus du petit angle P, il faut multiplier le second membre par 206 ^65'' si p doit être exprimé en secondes. Si Ton voulait profiter de la petitesse de l'angle P pour remplacer aussi son sinus par Tare

et écrire

/? = P sinz ■+ ^P* sinaz,

formule qui n'a besoin d'aucune modification tant que /? et P sont exprimés en parties du rayon, il faudrait, pour employer/? et P en secondes, écrire

d'où

p= P sin z H -T-^rz sin2 z.

De même enfin, si c, a et le petit angle B sont donnés en secondes dans la dernière série, il faudra l'écrire ainsi pour le calcul :

Dans le cas où la minute serait prise pour unité, le facteur de conversion serait 3438' au lieu de 206265".

Comme l'arc de i", c'est-à-dire — Tr-T^'i est sensiblement égal

à son sinus, on écrit souvent ce facteur sous la forme sini". Aussi trouve-l-on souvent dans les livres ces séries préparées pour le calcul sous la forme

c = a — sini" — sin2â'-h rsin3i"--sin4« -h. . . ,

les angles c, a, B étant exprimés en parties de la circonférence.

INFLUENCE DES ERREURS d'oBSERVATION. 35

Influence des erreurs d'observation.

C'est ici une question capitale dont le mathématicien ne se préoccupe pas. A Taide des formules précédentes et de Tables d'une étendue convenable, le mathématicien résout un triangle, sur trois données quelconques, avec le degré d'exactitude qu'on lui assignera ; en d'autres termes, si on lui demande les éléments inconnus à 5'' près, il emploiera des Tables à cinq décimales; si on les veut à o'^joS près, il prendra les Tables à sept décimales ; si on lui demande une exactitude encore plus grande, comme on le fait parfois en Géodésie, il aura recours aux Tables à huit ou neuf décimales.

La question est donc épuisée pour lui, et l'on s'en tient là effectivement dans les Livres d'Algèbreoude Géométrie. Mais la pratique introduit ici une question tout autre, celle d'apprécier l'effet que les erreurs d'observation dont les données sont affectées produisent sur le résultat.

Soit F une fonction continue de quantités Xy y, susceptibles de variations grandes ou petites. Si œ augmente de h, y de /, la fonction augmente de

h V X "^ Far "•"•••

-+- /f;. .-+-/// Fi V -h...

-h — Fv -+-...,

Fj., F, , Fi, . . . représentant les dérivées successives de F par rapport aux variables mises en indice. Si h et / sonf les erreurs de mesure qui affectent x et j, ces erreurs étant généralement fort petites, on est en droit de négliger leurs carrés et leurs produits; alors leur effet sur la fonction proposée se réduit sensiblement à

On l'obtient donc en différentiant la fonction proposée par rapport aux quantités affectées d'erreur et en remplaçant dxy dy, dZy . . . par les erreurs elles-mêm^s.

Exemple, — Étant donnés deux côtés a, c et Tangle compris B, on en déduit b par l'équation

cos^ = cos^ cosc ■+- sina sine cosB. »

Si a, c, B sont affectés d'erreurs, celle qui en résultera sur h s'obtiendra en différenliant cette relation par rapport à toutes les quantités qu'elle contient; on aura donc

— s>mbdb — — (sin^cosc — cos« sinccosB)r/a

— ( cosfl sin c — sÀna cosc cosB ) de

— sin « sine sinB^B.

Les équations des groupes (2) et (3) nous permettent de donner à cette relation la forme suivante :

db = cosCda -+- cosXdc -h sine sin A^B.

En opérant de même sur les autres équations Irigonométriques, nous formerions des relations analogues pour exprimer Terreur d'un élément quelconque en fonction des erreurs des trois autres; nous les donnerons au fur et à mesure des besoins.

Mais ces relations différentielles ne nous permettent de calculer l'effet produit sur un élément que lorsque les erreurs des données sont connues en grandeur et en signe. Tel n'est pas le cas dans la pratique; on n'y possède, en réalité, qu'une idée assez nette de l'ordre de grandeur des erreurs à craindre sur les mesures, mais on ne sait rien du signe ni de la valeur actuelle des erreurs réellement commises.

On verra', par la théorie des erreurs, que l'on est conduit alors à faire la somme des carrés des termes qui représentent ces erreurs et à écrire, quand on donne aux différentielles da, db, de, JB la signification tout à fait pratique d'erreurs probables.

db = dz \/{coàCda)^-h (COàAdcy-+- (siiif siiiAr/B)^

On entrevoit déjà cette conséquence, insignifiante en théorie, mais capitale en pratique, que, pour obtenir b avec le plus d'exactitude possible, à l'aide d'éléments a, c, B observés ou

INFLUENCE DES ERREURS d'oBSERVATION. 87

mesurés, il faut choisir les circonstances où le triangle ABC donnera, pour les coefficients cosG, cosA, sincsinA, les plus petites valeurs possibles. De là une discussion spéciale qui reviendra à chaque pas dans la partie pratique de cet Ouvrage.

Ici se place une remarque, dont on aura souvent occasion de tenir compte dans la suite, sur la différence qui existe entre les petites variations des coordonnées, suivant qu'il s'agit des distances au pôle de ces coordonnées, telles que z, S, . . . , ou

des angles dièdres X, M, Pour fixer les idées, supposons

((u'un point C soit obtenu sur la sphère par ses coordonnées z

et A, et que le véritable point soit en B avec les coordonnées ^ -i- ûfe et A -f- c?A. Pour avoir le petit écart de ces deux points, il faut menler par C un arc de grand cercle CD perpendiculaire à ZD, puis écrire, en considérant le petit triangle BCD comme plan,

cb = Vdb'-+-cd'.

Or, par le triangle sphérique DZC dont l'angle en Z est c?A, on a

-: — TT- = sinZC ou DC = (iX sinz.

sin (iX

On aura donc finalement

CB = \/(clz)^-h((lXs>\nz)^.

Multiplier d\ par sinz ou, dans un autre système de coordonnées, multiplier dAl par sin 5, c'est exprimer l'écart angulaire du point en arc de grand cercle ; c'est le rendre comparable à dz dans le premier cas, à dS dans le second.

Évidemment l'effet d'une petite variation rfA de l'azimut d'un point dont la distance zénithale est z est beaucoup plus grand à l'horizon que dans les régions voisines du zénith, ce qui revient à remarquer que, dans le fuseau étroit dont l'angle est rfA, l'écartement linéaire des grands cercles qui le comprennent va en diminuant de l'horizon au zénith.