FIGURE ET DIMENSIONS DE LA TERRE
mensions et la figure de notre globe sont bien connues. Nous exposerons donc tout d*abord l'état de la Science à ce sujet..
Figure et dimensions de la Terre.
La Terre est très sensiblement un ellipsoïde de révolution aplati aux pôles. Il s'agit ici de la surface des mers idéalement •prolongée par-dessous le relief des continents, surface générale de niveau qui jouit de la propriété d'être partout perpendiculaire à la direction du fil à plomb ou de la verticale. On croyait communément, au commencement de ce siècle, d'après le petit nombre de mesures que l'on possédait alors et qui ne méritaient pas toutes une grande confiance, que la Terre n'était qu'un sphéroïde aplati, à méridiens inégaux. Aujourd'hui la mesure de grands arcs de 20° à 25° en Angleterre et en France, aux Indes orientales et en Russie, jointe à plusieurs arcs plus petits, mais très bons, prouve que la surface mathématique de notre globe est bien un ellipsoïde de révolution, aux très petites quantités près dont on ne peut répondre dans ces admirables • opérations géodésiques.
D'après les derniers calculs, basés sur l'ensemble des mesures actuelles, le demi grand axe de l'ellipse méridienne, ou le rayon équatorial, est
a = 6378284'° (erreur probable ±58°»).
En désignant le petit axe par 6, l'aplatissement fx = = — y y
avec une erreur probable d'une unité seulement sur le dénominateur.
Le carré de Texcentricité, double à peu près de /ul, est
L'aplatissement de notre globe ayant un effet sensible sur les observations de la Lune et jouant un certain rôle dans la réduction des distances lunaires, nous donnerons ici les formules dont on a besoin pour ces réductions.
Lsijig. 12 représente l'ellipse méridienne avec une grande
4o CHAPITRE IV. — PARALLAXES.
exagération d'aplatissement. On vient de. voir, en effet, que la différence OA — OB des deux axes n'est que ^jj de OA; ce serait i™" seulement sur une figure où Ton donnerait à OA une longueur de 294°°°'. L'ellipsoïde terrestre est engendré par
Fig. 12.
la rotation de celte ellipse autour du demi petit axe OB , ou axe polaire. Dans ce mouvement,le point A décrirait la circonférence de réquateur. Rapportons cette ellipse, dont les demi-axes sont a et 6, à un système de coordonnées rectangulaires OX et OY ; son équation sera
OU, en posant ^ = e^,
L'observateur placé en M à la surface du globe n'y peut mesurer que l'angle X compris entre sa verticale MZ ou MN et l'axe polaire OB ou OY. Introduisons donc celte colatitude X comme coordonnée courante.
En menant la tangente MT, on voit que MTO = X ; par conséquent
rlr ^ .
Or, en différentiant l'équation de l'ellipse, il vient
d'où
(ijc 'y
FIGURE ET DIMENSIONS DE LA TERRE. 4l
donc
tangX = (i — ^2) .
Appelons N la grande normale MN au point dont les coordonnées sont X ei X'y nous aurons ^r^rNsinX, par suite, en tenant compte de la valeur de tangX, j :zi: N(i — d^j cosX.
Si l'on porte ces valeurs de ^ et de j dans l'équation de l'ellipse, on obtient, après quelques réductions faciles,
Cette normale N est le rayon de courbure du globe terrestre transversalement au méridien en M. Le rayon de courbure dans le sens du méridien est
ou bien, en remplaçant 6* par a*(i — e^)',x^ et x^ par leurs valeurs en fonction de N,
H=-fi-e2).
Nous aurons besoin, pour la réduction des observations de la Lune, des trois quantités MN ou N, ON et le rayon elliptique OM. Évidemment,
ON = N cosÀ — / = N<?2 cos>., OM = v/jc^H-r* = N \/i — ('ie^ — e^)coà'^^.
La Table suivante donne les valeurs de ces trois quantités de degré en degré de colatilude et en prenant a pour unité. Si l'on en voulait connaître la valeur en mètres, il suffirait de multiplier les nombres de la Table par celle de a, c'est-à-dire par 6 378 284'^.
Il n'est pas inutile de se faire une idée du très petit angle 4* qui est compris entre OM et MN, c'est-à-dire entre le rayon de la Terre et la verticale MN. Appelons p le rayon OM ; le triangle
MON donnera
p sin ^J/ = ON sm> = Ne* cosX sin>, p cos •J' = N — ON cos^ = :j^ •
On en lire
N' tang^^ = -- e' cosX sin>.
Le maximum de ^j; a lieu vers 1 = 45" à peu près. Calculant ^ pour celle valeur de X, on aura
•^ = 3438'-£4-^-ii',7.
Ainsi la verticale fail avec le rayon lerreslre un très petit angle qui nulle part n'atteint 12'.
Si Ton avait besoin de connaître Tangle MOB = 9 que le rayon terrestre fait avec l'axe polaire OB, angle qu'on nomme quelquefois la colatitude géocentriquey on aurait les relations
p sin y = x^ pcosy=j,
d'où
tang^=:--^--{i-e2)tangX,
p2=N2[l-(2^2^4)c0Sn],
et enfin
N en négligeant e\
Enfin il faut connaître la relation qui lie les deux quantités [L et e- par lesquelles on définit indifféremment la figure de notre oHipsoïde. Comme on a
on en lire
b = n[i — [L) ot ^2= «2(1 — ^2)^ par conséquent (i — /!x)2=ri — e^, relation qui se réduit à
