DE LA PARALLAXE EN. SUPPOSANT LA TERRE SPHÉRIQUE
en déduit, en prenant r pour unité :
Distance moyenne de la Terre au Soleil,
^=SH8\86=^-8%8b-^^^"^^'
Distance moyenne de la Terre à la Lune,
sm57 2",3 3422,3
La Connaissance des Temps donne la valeur de P de cinq en cinq jours pour le Soleil, et à chaque heure de Tannée pour la Lune.
De même les astronomes ne donnent pas le rayon linéaire des astres, mais leur demi-diamètre apparent pour la distance moyenne. Ainsi
le Soleil A = 16' 2" pour P=8",86, la Lune A = i5'34",2 pour P = 57^2", 3.
Le demi-diamètre apparent du Soleil varie de g^ de sa valeur dans le cours d'une année; celui de la Lune varie de j^ dans le cours d'une révolution de cet astre.
Cela posé, il est facile de résoudre les deux problèmes qui se rencontrent dans la question des parallaxes.
1° On a observé la distance zénithale Z\ de la station M : réduire cette distance zénithale au centre de la Terre, c'est-àdire déterminer la distance zénithale géocentrique z. Les équations (i) et (2) donnent
(8) sin/? = -^sinzi =^ sinPsinzi,
z = zi — p.
On aura la distance de l'astre au point M par la formule ( 3 ]
dx sin/? = rsinz.
2*» On a calculé la distance zénithale géocentrique z d'un astre pour un moment donné : en déduire la distance zénithale apparente Zj, telle qu'elle serait observée d'un point M de la
surface de la Terre. Les équations (3) et (4) donnent
rsmz a smPsinz
^^' ^^ fl^— /cosz /• I — sinPcos^'
I — -.cosz a
Zi= z-h p.
On aura d^ par la formule (3)
^1 sin/? = r sin z.
Il est bon de faire observer dès ce moment que ces deux problèmes ne sont réellement distincts quepourlaLune. Quand il s'agit du Soleil, la parallaxe horizontale? = 8" ,86 est si petite, qu'il n'y a aucune différence sensible entre P sinz et P sinzi. On trouve dans la Connaissance des Temps une petite Table qui donne p pour tous les jours de l'année et pour toutes les distances zénithales z on z^, Quant au diamètre angulaire du Soleil, qu'il soit vu de M ou de 0, la variation de distance n'est que d'un rayon terrestre sur ^3 oco et ne produit aucun effet appréciable.
Il n'en est pas de même du diamètre angulaire de la Lune : la variation de dislance de M en peut aller à un rayon terrestre sur 6o (distance moyenne de la Lune à la Terre) ; or^ de i5'36''z=: 986'' est d'environ 16" et n'est pas négligeable. Les équations (5) et (6), combinées avec les équations {1) et (3), donnent
Al sinz; à siiiz
Si Zi est donné, remplaçons z par Zt — p, développons le sinus en remplaçant cosp par i et sin/? par sa valeur sinP sïnzi ; H viendra
Al = 7— ir = A ( I -h sin P cos zi )
I— smPcoszi ^ '
à très peu près.
DE LA PARALLAXE EN TENANT COMPTE DE l'aPLÀTISSEMENT. 49
Théorie de la parallaxe en tenant compte de l'aplatissement du globe
terrestre (pour la Lune).
La transformation des coordonnées par changement d'origine est très simple, comme on vient de le voir, quand on déplace l'origine sur l'axe même du système, c'est-à-dire sur la verticale. Mai^ il n'en est plus ainsi lorsque l'on tient compte de l'aplatissement, parce que la verticale de l'observateur, à
Fig. 14.
laquelle se rapportent les coordonnées zénithales Zt et A«, ne passe pas en réalité par le^cenlre de la Terre. C'est ce que montre la fig, 14. L'observateur étant en M, sa verticale MN et le rayon visyel ML déterminent un plan vertical dans lequel on a mesuré l'angle ZML = Zi. Le centre de la Terre, pris pour nouvelle origine, est généralement en dehors du vertical de l'astre (à mokis que celui-ci n'ait été observé à son passage au méridien); le. nouvel axe de coordonnées doit être le rayon MO, et c'est l'angle MOL = z qu'il s'agirait de déterminer. Ainsi, outre le déplacement de l'origine, il faudra encore changer la direction de l'axe d'un angle OMN qui, à la vérité, ne dépasse pas 12'.
Dans la pratique ordinaire. On tourne la difficulté en se contentant de transporter l'origine sur la verticale ZM au point Q, tel que MQ = OM; les formules précédentes restent alors applicables et n'exigent d'autre modification que de mettre MQ ou OM à la place du rayon r, supposé jusqu'ici constant.
La parallaxe horizontale équatoriale P d'un astre quelconque
dont la distance est d est donnée par'la formule
smP = ^j
a étant le rayon équatorîal du globe terrestre. Sur un autre parallèle que réqualeur, OM étant sa dislance au centre de la Terre, la parallaxe horizontale P' sera
sinP'^ -— ;
par suite, sinP' = OM sinP, en prenant a pour unité, ou bien P' = OM.P. Le facteur OM est donné dans la Table I; on remplacera dans les formules précédentes la parallaxe horizontale équatoriale donnée dans la Connaissance des Temps par P.OM, et c'est ce à quoi l'on se borne d'ordinaire.
Mais le point Q est à une distance trop grande du centre delà Terre pour que l'on doive se contenter de cette approximation quand il s'agit de la Lune. OQ étant sensiblement perpendiculaire à MN, son expression est ONsinX^N^^^Qg^sin^^ Son
maximum répond à très-peu près à X = 4^°, et sa valeur esl alors {e^y à très-peu près, ou ^gj. Or P == 3422" en moyenne.
On aura donc
= 11", 6 pour l'effet de ce petit écart OQ
sur les coordonnées de la Lune.
Fig. i5.
Voici une théorie qui ne laisse rien à désirer.
Transportons l'origine de M en N, point où la verticale de l'observateur va couper l'axe de la Terre. Les formules précédentes subsisteront, à la condition de remplacer la distance OL
DE LA PARALLAXE EN TENANT COMPTE DE l'APLATISSEMENT. 5i
OU d par NL que nous nommerons d' et le rayon r de la Terre sphérique par MN ou la grande normale N.
Pour obtenir rf', considérons le triangle NOL, qui n*est nullement dans le plan vertical ZNL (sauf le cas où la Lune serait dans le méridien terrestre BMA). Ce triangle se trouve dans le méridien céleste BNL. En désignant par à et ô| les angles BOL, BNL et par tt Tangle OLN, nous aurons
e/'sin7r= ONsin^, d' COSTT = rf H- ON cos^.
L'angle en L étant extrêmement petit, cette dernière équation peut s'écrire
a' — a ( 1-+- -j- cos(y j •
Or ON n'atteint pas 0,006 [voir la Table I), a étant pris
pour unité; cosô, pour la Lune, ne dépasse jamais ^; le terme
