THÉORIE EN NÉGLIGEANT LA COURBURE DE LA TERRE

A la vérité, cet indice varie avec b el t. Les pliysiciens admettent que la fonction /? — i de Tindice de réfraction est proportionnelle à la densité; niais ici Tindice diffère si peu de l'unité, qu'on peut admettre la même proportionnalité pour /i — i ou pour le coefficient 60", 64 (^). Si donc Tobservation est faite par une pression b et une température ty il suffira, pour calculer p, de remplacer la constante 60'', 64 par

60", 64 X ^- X ■:r7rTr- •

0,760 l-r-0,003uor

Toute observation de distance zénithale doit donc être accompagnée des indications correspondantes du baromètre et du thermomètre. Les Tables de réfraction fournissent les valeurs de 6o'',64tangZi calculées de degré en degré pour Targument Zi . On y prend la valeur de p qui répond au Zi observé. Mais ce n'est là que la réfraction moyenne ; il faut encore la multiplier par le produit de deux facteurs numériques relatifs Tun à l'état du baromètre, l'autre à celui du thermomètre, que les Tables de réfraction donnent tout calculés.

Voici la comparaison de cette théorie avec les observations :

z^. ,0 calculé. p observé.

O I H I tt

Jusqu'à So*' cette formule représente exactement les réfractions réelles, mais à partir de 5o° l'erreur se manifeste ; très

(*) Posons /j = i~Ha, a représentant la petite fraction 0,000294; nous aurons l\ = i-\-ioL-\- ol'^ et, en négligeante.', qui se réduit à 0,000000086, l\ — 1 = 2« = 2(/j — i). Si donc /' — I est proportionnel à la densité de l'air, on en peut dire autant de ^, — i sanâ erreur sensible.

faible d'abord, elle grandit très vite à partir de 80** et elle devient infinie à Tharizon pour Zt = 90**. Ainsi, près de Thorizon, la courbure des couches atmosphériques n'est plus du tout négligeable ; mais il suffit de les considérer comme sphériques.

Théorie de la réfraction en tenant compte de la courbure des couches

atmosphériques.

Soient deux couches sphériques infiniment minces de rayons rn et r«i , d'indices in et In-t (fig. 19). Nous aurons encore, à

Fig. 19.

1 incidence !« sur la surface inférieure de la première couche

dont le rayon est rn,

sinl„ In-i sinK,i ~ in

D'autre part, le triangle formé par ces rayons et l'élément linéaire de la trajectoire lumineuse donne

sinR;t sinl„-i

fn-l

Multiplions ces deux équations membre à membre; nous aurons

sinU rn-\ln-\

sin U i

THÉORIE EN TENANT COMPTE DE LA COURBURE DE LA TERRE. Sq

OU bien

r„ In sin In = rn-i in-i sin I«i ,

et, par extension,

(i) r/sini = const.,

relation générale qui s'applique sur toute l'étendue de la trajectoire lumineuse et suppose seulement que chaque couche d'air de même densité ou de même indice est partout normale aux verticales qui la rencontrent.

Rapportons la courbe lumineuse à un système de coordonnées polaires ayant son centre au point C, centre de la Terre, pour rayon vecteur r et pour angle variable Tangle au centrer compté à partir de la verticale OZ de l'observateur. Le petit angle en C du triangle précédent sera dç; désignons déplus par dp l'angle de deux éléments linéaires consécutifs de la trajectoire. Le triangle déjà considéré nous donne

et, si l'on pose !«— I«i = rfl, cette relation devient

, d^ = dl-t- di>.

Dans toute courbe rapportée à des coordonnées polaires r et V et faisant l'angle I avec le rayon vecteur r, on a

rdi>

7^=tangl.

Enfin, en différentiant l'équation (i) après avoir pris les logarithmes des deux membres, il vient

flr dl d\

dr Multiplions par tangl et remplaçons tangl — par dv,

dif H- tangl — -^ d\ = o.

On a donc finalement rfp = — y tangL Dans cette expression

I dépend de r et de / en vertu de l'équation générale (i). Pour l'intégrer, il faudrait donc connaître la loi suivant laquelle

6o CHAPITRE V. —RÉFRACTION ASTRONOMIQUE.

Tindice / varie avec r. Supposons que cette loi soit

/•/'w = const.

dans toute l'étendue de l'atmosphère, m étant un certain nombre que nous nous réservons de déterminer par Tobservation. On aura, en dififérentiant logarithmiquement cette relation,

dr dl

hlW-T = 0.

En la multipliant par tangl elle se réduira à

dv — ind^ = G,

dont l'intégrale est évidemment

La constante est nulle, car p doit s'annuler avec (^.

Ainsi, dans cette constitution hypothétique de l'atmosphère,

la réfraction est toujours une même fraction — de l'angle au

centre sous-tendu par la trajectoire lumineuse. Dès lors il est aisé d'avoir la réfraction pour une distance zénithale donnée Z{ .

Fig. 20.

Aux deux bouts de la trajectoire, l'équation (i) devient, en désignant par R le rayon OB de la surface extérieure de l'atmosphère, par I le premier angle d'incidence (sur ce rayon OB),

THÉORIE EN TENANT COMPTE DE LA COURBURE DE LA TERRE. 6l

par I Findice du vide extérieur, par r^, A, z/les éléments analogues en A,

RsinI = ri/isinzi.

Menons par le point A une parallèle AB' au rayon BC qui se meut dans le vide; Tangle DAB', formé par la dernière tangente à la trajectoire et la ligne BC ou AB', sera la réfraction, et nous

aurons

zou zi-hp = l-hv--=l-^- mpy

puisque p == — • Portons cette valeur de ï dans Téquation précédente, en remarquant que la condition ri'" = const. donne ici R — Ti II"; nous obtiendrons Téquation finale de la réfraction en termes finis

sin [ 3i — ( /w — I ) p ] = i7~^ sin Zi .

Il est aisé de lui donner une forme un peu plus commode pour le calcul. Ajoutons et retranchons successivement sin>^i aux deux membres :

• f m— i \ m — I / ,fft-i y. .

2Sin(zi pjcos P=('i -+-i)smzi,

/ m — i\. m — \ ,jm-\ \ .

acosizi pjsin P = ri — ijsmzi.

En divisant membre à membre,

tang -^ p = - - ~- tang [z, - -^ p) •

Faisons /| t= n- a, et, comme a est très petit, bornons-nous aux deux premiers termes du développement de (i -h a)"*-'; il viendra, en remarquant que a peut être négligé au dénominateur lorsqu'on laisse de côté les termes en a^,

tang— ^ P = ——a tang \^, — pj.

Pour obtenir la valeilr de 9 on aura recours à une ré-

fraction un peu forte et bien déterminée par des observations astronomiques concoi'dantes, faites vers la pression de o"*, 760

et la température de 0°. Laplace a trouvé ainsi = 3,25,

d'où /w:=7,5. En remplaçant la tangente du petit angle

6a CHAPITRE V. —RÉFRACTION ASTRONOMIQUE.

p par Tare, il vient finalement

p = 6o",67tang(zi— 3,25p),

formule qu'on calcule par tâtonnement et que Ton réduira facilement en Tables; elle donne la réfraction astronomique jusqu'à Thorizon.

Nous verrons plus loin que l'hypothèse sur la constitution de l'atmosphère rl"^ = const. répond bien aux réfractions géodésiques; leur étude fournit pour m précisément la même valeur 7,5. Mais les géomètres ne se sont pas contentés de cette hypothèse ; ils en ont essayé beaucoup d'autres pour suppléer à l'ignorance où nous sommes de la véritable loi du décroissement des densités de l'air dans le sens vertical. Le résultat le plus frappant de ces tentatives, essentiellement arbitraires, a été celui-ci : jusqu'à 80° de distance zénithale, toutes les hypothèses donnent aux réfractions la même valeur. Donc les réfractions entre le zénith et 80° sont indépendantes de la loi de constitution de l'atmosphère. Pourvu que les couches d'air soient des couches de niveau, c'est-à-dire soient normales partout à la direction de la pesanteur, la réfraction astronomique ne dépend que de la distance zénithale et de l'indice de la couche où se fait l'observation. C'est seulement au delà de 80° qu'il faut, pour calculer exactement les réfractions, adopter une loi du décroissement des densités ou des indices.

Les géomètres Ont reconnu que l'on s'approchait d'autant plus du but que la loi hypothétique, dont l'intervention est alors nécessaire, représente mieux le décroissement en hauteur des températures. Celle qui sert de base à la théorie de Laplace jouit de cette propriété, tandis que la loi hypothétique admise par Bessel n'y satisfait nullement. Nous regardons donc les réfractions calculées par la formule de Laplace et publiées dans la Connaissance des Temps comme préférables. La formule de Laplace est

p = 279o",i57(o, 75479 — 0,49042X2) sinzi — ^T2 / e-^^dt H- 10021,342 sm 2 zi,

dans laquelle ï = 25,962 cosz<.

THÉORIE EN TENANt COMPTE DE LA COURBURE DE LA TERRE. 63

Quant au degré de précision des réfractions ainsi calculées, on en jugera par le petit Tableau suivant, donné par Bessel :

Yalears Erreur probable

de de ]a

z^, réfraction calculée.

O / If