LA CONNAISSANCE DES TEMPS

. Les Tables astronomiques permettent de calculer, pour le méridien de Paris, à une date quelconque, les coordonnées uranographiques du Soleil, des planètes principales et de la Lune. Mais, si les navigateurs étaient obligés d'exécuter euxmêmes ces calculs, leur temps si précieux s'y consumerait entièrement. Le Bureau des Longitudes les fait faire; il publie chaque année, deux ou trois ans d'avance, les positions de tous les astres qu'il est utile d'observer en mer. Il n'y a plus qu'à prendre dans ce Recueil annuel les coordonnées dont on a besoin, à peu près comme on prend un logarithme dans une Table de Collet ou de Lalande. La comparaison est d'autant plus juste, que le Bureau des Longitudes s'attache à réduire les calculs d'interpolation à de simples parties proportionnelles. Dans ce but, il donne de dix en dix jours les ^R et d des étoiles,

FORMULE d'interpolation DE NEWTON. l4l

qui varient avec une extrême lenteur, tous les jours celles du Soleil et des planètes, toutes les heures celles de la Lune. Cependant les distances lunaires ne sont calculées que de trois en trois heures ; elles exigent seules un calcul d'interpolation plus compliqué. Nous nous bornerons à indiquer ici les méthodes les plus simples.

L'argument est toujours le temps et procède par intervalles égaux. Nous le représenterons par o, hy ih, 3/i, . . ., tandis que la fonction dont la Connaissance des Temps donne les valeurs correspondantes sera f[o),f[h)yf{i/i]f .... Désignons par A'o, A'^, A^, ... les premières différences

fW-f(o), f{2h)-f{h), f(U)-f{2h), ...,

puis par A'i, A'J, Ag, ... les différences secondes et ainsi de suite. On formera le Tableau suivant :

Première Deuxième Troisième Quatrième Argameot. Fonction. dilTérence. différence, différence, différence.

4A f(ià)

Par des substitutions successives on a les relations

fUh) =f(o) ^ 4^\ -f- 6A'; -+- 4 A';' -h av,

Les coefficients de ces expressions sont ceux des divers termes du développement de (i-f-j?)". On écrira donc (c'est la formule d'interpolation de Newton )

/(/zA)^/(o)-4-/iA;h- ^^ Ao-h: ^-^-3 Ao-f-....

La quantité n n'ayant été assujettie à aucune restriction, on

i4a CHAPITRE XIV. — la connaissance des temps.

pourra lui assigner des valeurs quelconques positives ou négatives, entières ou fractionnaires.

Exemple. — Ui Connaissance des Temps pour 1880 rfo/uie le Tableau suivant des distances angulaires de la Lune à Vétoile Pollux pour le 11 février :

Argument Valeurs

h. delafonotlon. A'. A". A''. A".

On demande la distance des deux astres pour 13^27^29*. Ici h — 3'' et n est une fraction exprimée par

3ÏÏ = 3h = o\ 48601.

En appliquant la formule ci-dessus, on a, pour la distance • cherchée, comprise entre celles de 12^ et de i3^, Texpression suivante, où les logarithmes des coefficients sont représentés par des nombres enfermés entre parenthèses,

9"3i'i6"-^ (9,68665)3887"- (9,09657)407"- (8,7996) 104"- (8,578)29', et voici le résultat :

Le problème inverse de l'interpolation consiste à trouver la valeur de l'argument nh qui répond à une valeur assignée à la fonction.

Exemple. — A quelle heure la distance de la Lune à Pollux, le 11 février 1880, sera-t-elle égale à 10° i' 4?" ?

APPLICATIONS NUMÉRIQUES. l43

L'inconnue est ici nh ou n. Ordonnons la formule de Newton suivant les puissances ascendantes de n :

■iA';-H/|4|J;A'„'.

- ws

+ iiA'o'

1 Al»

Avec les différences des divers ordres données ci -dessus , on formera l'équation de condition, f[nh) —f(o) étant ici ,oOi'4/-9o3i'i6'' = i83i",

On a une première valeur de n en négligeant les termes en n^f n^, n\ On trouve ainsi log/i = 9,70140. Avec cette valeur on calcule les termes suivants, que l'on retranche de i83i'':

iSSi'o

De 1766"= 364i",6/i on tire une nouvelle valeur de log/i plus

approchée que la précédente, à savoir 9,68670, avec laquelle

on recalcule les termes d'ordre supérieur, et il vient

If i83i,o

Une nouvelle approximation donnerait 1770", 2 et par suite log/^ = 9,68674; enfin nh =^ i^ y ^583^ = 1^ if ^3o\

On trouvera dans la Connaissance des Temps, à partir de 1880, des Tables destinées à abréger les calculs d'interpolation en tenant compte des troisièmes différences, qui ne sont pas négligeables dans le cas où les distances lunaires sont très petites.

Si l'on compare la série de Maclaurin

f[nh)=f[o)-^nhf\o)

l44 CHAPITRE XIV. — LA CONNAISSANCE DES TEMPS.

à la précédente, il suffira de poser, pour les identifier.

On obtiendra donc par ces formules les valeurs que prennent les dérivées successives de la fonction pour les diverses valeurs de l'argument de Téphéméride.

Voici un procédé fort simple qui permet de réduire beaucoup le travail de l'interpolation lorsque les différences troisièmes sont négligeables. Dans l'interpolation par parties proportionnelles , Ton se contente du premier terme et Ton écrit

f(nh)=f(o)-^nhf{o).

Si le temps, compté à partir d'une des dates de réphéméride, est exprimé au moyen de l'heure prise pour unité, /'(o) prend le nom de variation horaire de la fonction. II est clair qu'on néglige ici les termes dépendant des puissances supérieures du temps. Pour tenir compte de la deuxième puissance sans augmenter sensiblement le calcul, il suffit de calculer la dérivée première, non pour l'argument o, comme dans la formule précédente, mais pour l'argument intermédiaire entre o el

nhy c'est-à-dire pour En effet, écrivons les deux séries

nh nh \ V 2 a y

=/(f ) - tV (?) - \ (?)>(f )- 1 (?)>(?)-,

=/(?)-?/■© -K?)>(?)- Kt)>(t)-

APPLICATIONS NUMÉRIQUES. l45

En prenant la différence, les termes d'ordre pair disparaissent, et il vient, si Ton néglige les termes dépendant du cube du temps,

formule très simple plusieurs fois appliquée dans les instructions de la Connaissance des Temps, On trouve en effet dans ce Recueil les variations horaires des divers éléments ; une simple interpolation permet de trouver la variation horaire répondant à une date quelconque, et par suite à la date intermédiaire — • Mais ce procédé ne s'appliquerait pas à l'exemple

précédent, parce que les différences troisièmes y sont trop sensibles.

L'examen des différences successives dans la Table des valeurs qu'une fonction quelconque prend, pour des arguments équidistants,sert à déceler des fautes de calcul ou d'impression, et même à les corriger. On ne trouvera jamais de fautes de calcul dans la Connaissance des Temps, dont tous les nombres sont revus avec grand soin avant d'être livrés à l'impression ; mais il peut se faire, à la rigueur, qu'une faute typographique échappe à la révision des épreuves. Le Tableau suivant montre l'influence d'une faute a sur les différences successives :

fi + *

a; -H se

Si les différences secondes doivent être à peu près constantes, comme dans le cas des grandes distances lunaires, la plus grande discordance se trouvera dans la ligne même où l'erreur a aura été commise et donnera à peu près le double de sa valeur.

l46 CHAPITRE XIV. — LA CONNAISSANCE DES TEMPS.

Degré de précision des données de la Connaissance des Temps.

Ces données sont déduites des Catalogues d'étoiles et des Tables astronomiques avec plus de précision que celles-ci n'en comportent en réalité. Ainsi les iR sont données au centième de seconde de temps, c'est-à-dire à moins de 0*^,15, et les aie sont au dixième de seconde d'arc. Or nos Catalogues les plus exacts des étoiles fondamentales n*ont pas partout ce degré d'exactitude. Quant au système solaire, la précision des Tables ne va pas au delà de 2!' à y pour le Soleil, et de 5" à 6'' pour les planètes. En d'autres termes, les Tables astronomiques ne représentent les observations actuelles qu'avec des erreurs de l'ordre que nous venons d'indiquer. Mais ces erreurs, qui ne vont même pas à o',i, peuvent être considérées comme négligeables pour les observations faites à la mer. Il n'en est plus de même des erreurs des Tables lunaires de Hansen, que le Bureau des Longitudes a dû adopter provisoirement pour le calcul des éphémérides de la Lune.

Lorsque ces Tables ont remplacé celles de Burckardt ou de Damoiseau, vers 1860, elles paraissaient offrir de grandes garanties d'exactitude, car leur savant auteur les avait arrangées de manière à représenter à i " près toute la série moderne des observations depuis 1750 jusqu'en i85o. On sait qu'une des grandes difficultés des Tables de la Lune consiste dans le très grand nombre de petites inégalités à courte période dont les mouvements de noire satellite sont affectés. L'avantage de celles de Hansen était précisément de tenir compte de toutes ces inégalités, tandis que les auteurs précédents avaient été forcés, pour ne pas augmenter démesurément le volume des Tables et la longueur des calculs, d'en laisser beaucoup de côté. Mais l'astronome allemand a introduit dans la théorie certaines inégalités à longue période dont les coefficients sont erronés. Par des compensations fortuites, ces erreurs se compensent dans le cours du siècle compris entre lySo et i85o; mais, si l'on remonte plus haut, la compensation n'existe plus et

DEGRÉ DE PRECISION DES DONNEES DE LA CONN. DES TEMPS. l47

Terreur des Tables en longitude va à — 200" en 85o, à l'époque des observations des Arabes, et à — 960" à celle de Ptolémée. De même aujourd'hui l'erreur est de -+■ la" en 1878; elle ira à -h 13", 2 en 1880. Il en résulte que les M de la Lune, données d'après ces Tables par la Connaissance des Temps, sont actuellement trop fortes deo%8. L'erreur ira à bien près de i* en 1881. S'il ne s'agissait que de déterminer l'heure du bord et la colatitud'e par des distances zénithales de la Lune, l'erreur des Tables serait peu à craindre; mais, pour les distances lunaires destinées à fournir l'heure de Paris, il en est tout autrement. Là toute erreur sur ces distances est multipliée, dans le résultat conclu, par un facteur dont la valeur moyenne est 29 et qui va parfois à 4o- H en résulte qu'une erreur de 12" dans les données astronomiques produira à elle seule de 6' à 7' d'erreur sur la longitude ou de 24" à 28' d'erreur sur l'heure de Paris. Il est donc nécessaire de tenir compte de ces erreurs lorsqu'on veut obtenir les coordonnées ou les distances lunaires avec toute l'exactitude possible. C'est ce qu'on fera aisément en considérant les erreurs ci-dessus comme propres à la longitude écliptique L de la Lune et n'affectant pas sensiblement sa distance p au pôle de l'écliptique. Les formules de transformation qui servent à passer de L et de (3 à iR et ô étant

cos^= coswcosp-i- sinwsinp cosL, sin(? siniîl = — sin wcosj^ -+- cosw sinp cosL, sin(? cosiR = sinp cosL,

formules où w représente l'obliquité de l'écliptique ou ^.y^^r on aura, en différentiant par rapport à ô, ^R et L,

(IM = (cosw -f- sinw cott^ siniR)r/L, d^ = — siTKfiCOsMdL,

Il suffira donc, pour avoir les corrections des données de la Connaissance des Temps, de faire rfL = i2" en 1878, 12'', 5 en 1879 et i3",2 en 1880.

Dans quelques années, le Bureau sera en mesure de substituer, aux Tables de Hansen, celles qu'on déduira de la théorie plus parfaite qu'en a donnée Delaunay.

l48 CHAPITRE XV.