THEORIE DES MOINDRES CARRES

rares. On peut, en un mol, les assimiler aux écarts d*un tireur qui vise toujours le même but avec une attention soutenue et une arme sans défaut. Si Ton relève les coups après un certain nombre d'essais, on verra que le plus grand nombre s'écarte fort peu du but, indifféremment à gauche et à droite. Cela est tellement vrai, que, si la plupart des coups portaient à droite, par exemple, on en conclurait aussitôt que l'arme doit avoir une petite déviation en ce sens, et ce serait alors une erreur systématique qu'on s'efforcerait de corriger dans l'arme elle-même. On notera bien, sur un grand nombre de coups, des écarts plus notables que les autres, mais ils seront relativement très peu nombreux. L'examen du Tableau de ces écarts donnera à juger, a posteriori il est vrai, mais d'une manière très plausible, du degré d'habileté du tireur et de la perfection de son arme. Il est d'ailleurs tel écart que tout le monde jugera impossible, en sorte que, s'il venait à s'en produire un, on en conclurait qu'une cause étrangère a dû intervenir cette fois-là.

Les erreurs systématiques, au contraire, suivent une loi déterminée. Telle serait, pour le tir, une fausse position d'un des points qui déterminent sur l'arme la ligne de visée. L'erreur pour une dislance donnée serait toujours la même et, pour diverses positions du but, croîtrait proportionnellement à la dislance. Telle serait aussi une erreur d'excentricité dans le sextant, erreur qui croît avec le sinus de l'angle mesuré à partir d'une certaine origine. Telle serait encore l'erreur commise par un calculateur qui omettrait de tenir compte de la réfraction dans les dislances zénithales des astres. Cette erreur irait en croissant, d'un astre à l'autre, avec la tangente de la distance angulaire au zénith. Cette seconde catégorie d'erreurs est d'une importance extrême dans la pratique, mais on peut en découvrir les lois, en déterminer les constantes et finalement en débarrasser les observations. Nous les avons étudiées à part; il n'en sera plus question dans ce qui va suivre, mais seulement des erreurs accidentelles.

Examinons d'abord le cas le plus simple, celui où l'on a mesuré directement une grandeur x pour laquelle on a obtenu les

lâo CHAPITRE XV. ~ MÉTHODE DES MOINDRES CARRÉS.

évaluations w, n\ n" ^ ... en nombre m. C'est comme si l'on devait déterminer x de manière à satisfaire le mieux possible aux équations suivantes :

Si ces mesures ne sont affectées que d'erreurs purement accidentelles, celles-ci seront indifféremment positives et négatives; en outre, les plus nombreuses de beaucoup seront les plus petites. Il en résulte qu'en prenant la moyenne de ces équations il y aura une large compensation de ces erreurs. Si par hasard il se trouvait quelque grosse erreur (grosse dans les limites admissibles, bien entendu) qui ne fût pas annulée par une erreur égale et de signe contraire, elle serait du moins fortement diminuée par le diviseur m, nombre des équations. L'équation résultante

X = ou 1^— l * )

/// ni

sera donc beaucoup plus exacte que chacune des proposées prise en particulier, pourvu que m soit un assez grand nombre. D'après cela, nous aurons une idée très approchée des erreurs accidentelles qui auront été réellement commises dans chaque mesure partielle si nous portons cette valeur de x dans les équations. Ces équations ne seront pas satisfaites rigoureusement; elles laisseront de petits résidus qui représenteront à très peu près les erreurs commises. Désignons-les par e, e', f", .... D'après cela,

\n\ X ayant ici la valeur ci-dessus - — -* Il est facile de voir que la

(') En représentant la somme de termes semblables par l'un d'eux enfermé dans les crochets [ ].

ÉQUATIONS DE CONDITION DE FORME QUELCONQUE. j5i

somme de ces résidus est nulle, car, si Ton remplace x par sa valeur, cette somme devient

somme qui se réduit évidemment à zéro.

Cela posé, remarquons que cette même expression

est, à un facteur constant près (le facteur 2), la dérivée par rapport à j? de la somme des carrés des erreurs :

Puisque cette dérivée est nulle, il en résulte que la somme

des carrés des erreurs est un minimum. Cela veut dire que

\n'\ toute autre valeur que la moyenne - — -^ mise à la place de x

dans les équations proposées, donnerait une plus forte somme des carrés des résidus.

Si Ton avait une autre série de m mesures de la même grandeur, faites avec moins de soin et avec des instruments plus grossiers, la somme des résidus relatifs à la moyenne serait encore nulle, mais la somme de leurs carrés serait plus forte. On peut donc considérer cette somme des carrés, réduite au minimum, comme un moyen d'apprécier la précision de ces m mesures. Dès lors, pour juger de la précision d'une mesure isolée, il suffira de prendre la moyenne des carrés

des résidus, c'est-à-dire

= i — ^ ♦ et d en

extraire la racine carrée. L'erreur moyenne d'une mesure isolée sera donc * '--

Équations de condition de forme quelconque.

Il arrive souvent que la quantité à déterminer au moyen d'une série de mesures ne dépend pas de celles-ci par une re-