J2 CHAPITRE XV. — METHODE DES MOINDRES CARRÉS
lation aussi simple qlie x^=n, et même, dans le cas le plus {^encrai, on aura plusieurs inconnues à déterminer à la fois, inconnues relices aux quantités mesurées par une relation de la
forme
t étant une variable indépendante, le temps par exemple, A,B,
(], ... des constantes qui entrent dans Texpression anal;^tique
de la loi, et N une quantité fournie par robservation. Si l'on
possède m mesures N, N', N", . . . répondant à diverses valeurs
ty t' , t" y ... de Targument f, on formera m équations de la
forme
Appliquons à ce système la règle précédente, c'est-à-dire cherchons à déterminer les constantes inconnues A, B, C, . . . à l'aide de ces m équations [m étant bien supérieur au nombre desdites inconnues), de manière que la somme des carrés des résidus, c'est-à-dire
soit un minimum. Pour cela il faut et il suffît que les dérivées de cette somme prises i*" par rapport à A, 2** par rapport à B, 3** par rapport à C, etc., inconnues que nous supposerons indépendantes les unes des autres, soient séparément nulles. Ces conditions du minimum nous fourniront autant d'équations finales entre A, B, C, ... et N, N', N", . . . qu'il y a d'inconnues, système qu'on résoudra par les méthodes habituelles de l'Algèbre.
Équations de condition ramenées à la forme linéaire.
Ces calculs seraient bien souvent inextricables; heureusement les circonstances ordinaires de la pratique nous permettent de les simplifier considérablement. En effet, dans la pra-
ÉQUATIONS DE CONDITION RAMENÉES A LA FORME LINÉAIRE. l53
lique, on connaît toujours d'avance des valeurs plus ou moins
approchées des inconnues A, B, C, Par exemple, dans
l'Astronomie nautique, l'estime fournit des valeurs approchées des inconnues X et L. Désignons-les ici par A', B', C, . . ., el par .r, r, ^, . . . les petites corrections dont ces valeurs provisoires ont besoin, en sorte qu'on ait
A = A'-hjr, B = B'-+-j, C = C'h-z, ....
Substituons ces valeurs dans l'équation générale et développons le premier membre en négligeant les termes d'ordre supérieur au premier, c'est-à-dire les termes x^y j^^ z^, ,,. ou ^j, jz, ..., ainsi que les suivants, nous aurons
équation linéaire en .r, ^, z, ... qu'on écrira
en désignant par n la différence immédiatement calculable
Dès lors, il est bien facile d'appliquer à la résolution des m équations linéaires
ajc -h bf -h cz -h . . . = //, a'jr -H b'x -h r'z -h . . . = n\
la condition de rendre minimum la somme des carrés des résidus ou erreurs, c'est-à-dire
Béduisons les inconnues à trois pour fixer les idées et écrivons que la dérivée de la somme précédente, prise par rapport à .r, est nulle; nous aurons l'équation finale en x
ia [ax -^hy -\- cz — n)-^ ia![a!x -h ^'j-+- c'z — /i') -h . . . = o.
Supprimons le facteur 2 et désignons par \(id\y [aé], ... les
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sommes telles que
aa -h a*a*-\- «"a'-h. . . ou aô -+- fl'A'-t- a^b'-^,, . .
Cette équation prendra la forme
[aà\x -+- [ab']y-¥- [ac\z = [fl/i].
En opérant de même pour j et pour z, nous aurons les deux dernières équations finales
[ablx -+- [bblx-^ [bc^z = [bn^ , [rtrc].r H- [^f]/ -H [ce] 3 = [c//] .
Ces trois équations finales nous •donneront pour Xy y^ z un système de valeurs jouissant de la propriété de rendre minimum la somme des carrés des résidus. Tout autre système de valeurs qu'on assignerait h x, f^ z dans les m équations de condition donnerait une plus grande somme pour les carrés des résidus. La règle est donc :
Pour former l'équation en x, ajouter toutes les équations de condition après avoir multiplié chacune d'elles par le coefficient de X dans celte équation. Opérer de même pour les équations finales relatives à^* età z.
On voit que celte prescription revient au fond^ pour former réqualion finale en x, à donner une grande prépondérance aux équations de condition où .r a les plus forts coefficients, et de plus à changer tous les signes des équations où ^ a un coefficient négatif. Ainsi, dans l'exemple suivant,
!5,0cr-F 1 ,4 r = 0,4,
— I , '2 jr -4- 3 , of =1,5,
o, 1 jc -h 2,0 )• = 1,0,
pour former l'équation finale en x, on doit faire la somme des équations ainsi transformées :
9,oo.r-i-4,9.j= 1,2, i,44.r--3,6j= —1,8, o,oivC -h 0,2/= 0,1,
