ERREUR MOYENNE DES OBSERVATIONS

• Si nous portons les valeurs de Xy j, z ainsi trouvées dans les m équations primitives, nous aurons m résidus e, e', e", . . . tels que la somme de leurs carrés

ss -h d's'-h s"s"h-. . . ou bien [sc]

soit un minimum. Il est donc naturel de prendre, comme dans le cas de la moyenne arithmétique, la moyenne de ces m carrés, ou - — - pour la valeur moyenne des carrés des erreurs, ou

pour l'erreur moyenne.

m Cependant il est essentiel de remarquer ici que, si nous n'a-

l56 CHAP. XVI. —ERREUR MOYENNE d'UNE FONCTION QUELCONQUE

vions que trois équations de condition au lieu de m, en les résolvant nous aurions un système de valeurs pour a?, jr» ^ Qu* ne laisserait aucun résidu dans ces équations. Nous n'avons en réalité, malgré nos m résidus, que m — 3 données distinctes pour juger des erreurs; ± K/- — - donnerait une idée

trop avantageuse du degré de précision des mesures. On est donc conduit à adopter m — 3 ei non m pour dénominateur. D'après cela nous prendrons pour erreur moyenne d'une

observation ± \/ — — —.t i étant le nombre des inconnues, el

nous la désignerons en général par ei.

Erreur moyenne d'une fonction quelconque de quantités

d'une précision donnée.

Soit U =y ( A, B, C, . . .) une fonction des quantités A, B, C pour lesquelles les erreurs à craindre ou les erreurs moyennes soient respectivement

d=a, ±p, dzy.

Lorsque A, B, C varieront de quantités de cet ordre-là, U variera lui-même d'une petite quantité u qu'il faut déterminer el que nous considérons, sous certaines conditions, comme l'erreur à craindre sur U. Or, a, (3, y étant de très petites quantités dont on peut négliger les puissances supérieures el les produits dans le développement suivant,

U±«=/(A,B,C,...)±|a±|p±^^V, ou bien

dk dlà^~ dC ^'

si nous formions des relations de ce genre pour toutes les valeurs qu'il est permis d'attribuer à a, (3, y, nous aurions les valeurs correspondantes de m. Par conséquent, nous aurions la valeur moyenne de u en prenant la racine carrée de la somme des carrés de toutes ses valeurs particulières divisée par leur

DE QUANTITÉS D*UNE PRÉCISION DONNÉE. l57

nombre. Or, si nous laissons ces valeurs particulières sous la forme susdite, en faisant la somme des carrés, tous les doubles

produits tels que 2 -^ ^ ^P* • * disparaîtront, puisqu'à chaque

valeur positive de a ou de (3 ou de y correspond une valeur négative de même ordre de grandeur (d'après le caractère même des erreurs accidentelles). On aura donc finalement, en prenant la racine carrée de la moyenne de cette somme de carrés,

puisque a^, (32, ys ^q^i considérés comme les moyennes des carrés de toutes les erreurs dont A, B, C sont susceptibles.

Cela revient à difîérentier U par rapport à A, B, C, à remplacer rfA, rfB, rfC par a, p, y et à extraire la racine carrée de la somme des carrés de ces différentielles partielles.

Applications. — Nous aidons trompé pour la moyenne de m mesures n, n% n" d'une quantité x

et, en désignant par e, e', , . . les écarts des mesures Individuelles avec la moyenne, nous avons vu que l'erreur moyenne d'une mesure est

M = \/^ ou plutôt i ^iiii

Quelle sera l'erreur à craindre sur la moyenne elle-même? Ici X est une fonction bien simple des mesures n, n', /i", ...,

car

L'erreur moyenne de ces divers termes est =t — ; donc celle

de X sera

m^ww^-^H'^''-^.

l58 CHAPITRE XVI. — ERREUR MOYENNE DES SOLUTIONS

Par exemple, l'erreur moyenne à craindre sur la moyenne de

loo mesures effectuées à i' près sera, non pas j mais — »

'^ "^ lOO 10

et, pour réduire de moitié Terreur à craindre sur des mesures faites à la minute près, il faut prendre la moyenne de 4 mesures indépendantes. En d'autres termes, la précision d'une moyenne n'est pas proportionnelle au nombre des mesures individuelles, mais seulement à la racine carrée de ce nombre.

Seconde application. — Pour obtenir la surface d'un rectangle, on en a mesuré les côtés a et b, le premier avec une erreur moyenne dz a, le second à±^ près. Quelle est l'erreur à craindre sur la surface conclue ab?

On aura pour cette erreur

dt^[ùoi)^'i-(apy.

De même l'erreur à craindre sur une ligne a mesurée en deux parts b et c, de sorte que a=^b -{- c, sera

(la = ± yJ[dbY-\-{dc)^,

en donnant aux différentielles rfa, db, de le sens d'erreurs moyennes.

Enfin, si l'angle a est calculé par l'analogie des quatre sinus,

un a sinB = sin^ sinA,

nous aurons, en diiférenliant celte expression après en avoir pris les logarithmes,

(In db dX dn

langrt tang^ tangA tangB

puis, en donnant aux différentielles la signification d'erreurs moyennes.

./« = ± tang« ^(^^) V (^)'-H (^)\

FOURNIES PAR LA MÉTHODE DE LEGENDRE. l5(>

Erreur moyenne des solutions fournies par la méthode de Legendre.

Soit, pour fixer les idées, m équations à deux inconnues

ax-^bjr = /?, n'x-\-b'y = /?', a''x -H b^x = «*ï

Les équations finales seront

[ab^x 4- [bblx — \bn\

Pour avoir Terreur de x en fonction des erreurs e, e', e", . . . des données n, /i', n^ y . . . , différenlions a? par rapport à ces quantités, conformément à la prescription du paragraphe précédent. Puisque

[an\[bb)--[ab][hn) (aa){bb)-(ab)^ '

nous aurons, en désignant pour un instant le dénominateur

par D,

Ddx= ][bb]a-[ab]b \dn,

[bb]a'^[ab]b*\dn\

\[bb]a''-^[ab]b''\dfi''-h....

Par suite, on aura, en faisant la somme des carrés de ces termes en dn, dn\ dn!\ ... et en remplaçant rf/i^, rf/i'^, dn"^, . . . par leur valeur moyenne 6%

DV/x« = j [bb^^[aa^ -+- [ab^^[bb^ - 2[66][«^][fl^] ! i\.

Si Ton réduit les termes semblables, et que Ton mette [bb] en facteur commun, cette équation devient

D«r/x2 = [^»^]D«î, d'où r/^=4A^ï,.

Or L|r-i est la valeur qu'on obtiendrait pour x lui-même si

l6o CHAPITRE XVI. — APPLICATION DE LA MÉTHODE

dans les équations finales on remplaçait [an] par i et [bn] par o.

De même Terreur moyenne de j ou dx serai/^rJei,

c'est-à-dire et multiplié par la racine carrée de la valeur qu'on déduirait pour j si dans les équations finales on remplaçait (Z/i par o et bn par i .

S'il y avait trois inconnues, on aurait pareillement à résoudre les équations finales

[âr«]j7 -h [ab'\x-h[ac']z= [an], [ab]x H- [f^b]f -+■ [bc] z = [bn], [ac]x -+- [bc]y^ [cc\z = [en].

Les valeurs de ^, j, z, . . . étant obtenues, on aurait leurs erreurs moyennes en remplaçant x, r, z par x\ y ^ 2' et en résolvant trois fois les mêmes équations avec les seconds membres remplacés successivement par

I , G, G pour x\ o, 1, o pour/, o, G, 1 pour z\

et les erreurs moyennes de.r, j, z seraient ej v^, ^\ \/^, t\ {z' .

Application de la méthode des moindres carrés à un exemple.

Les hommes de science qui ont du temps à eux, et qui veulent tirer tout le parti possible des observations dont ils disposent, doivent recourir à cette méthode pour résoudre un système de m équations à i inconnues lorsque m'^i; encore faut-il que la loi du phénomène dont il s'agit soit bien connue et qu'il ne reste à en déterminer que les constantes. Nous sommes donc bien éloignés de faire aux navigateurs une obligation d'y recourir en toutes circonstances. La méthode ancienne, que nous avons employée dans le cours de cet Ouvrage, suffira-le plus souvent, tout en exigeant beaucoup moins de temps et de calculs. Cependant il faut connaître la méthode

DES MOINDRES CARRÉS A UN EXEMPLE. l6l

de Legendre et savoir l'appliquer au besoin, parce qu'elle donne les valeurs les plus probables des inconnues, et que seule elle permet d'apprécier leur degré de précision. En voici un exemple.

La longueur / du pendule simple qui bat la seconde est liée à Taplalissemenl [x du globe terrestre par l'équation de Clairaut,

/ = r-f.(|^pL)/'cosn,

où /' représente la longueur du pendule à Téquateur, q le rapport -^ de la force centrifuge à la pesanteur, toujours à l'équateur, et X la colatitude. Voici diverses mesures de / effectuées en divers points du globe par des navigateurs :

o / mm

Au Spitzberg lo.io 996,18

Saint-Pétersbourg.. 3o, 3 994>97

New-York 49* ^7 99^» 24

La Jamaïque 72. 4 991,56

Ile Saint-Thomas .. . 89.35 99')i9

Rio-de-Janeiro 112. 55 99^*77

MonteTideo i24.5'f 992,70

Cap Horn i45.5i 994»^^

New-Shetland i52.56 995,23

Posons, pour abréger, nous aurons, pour déterminer x et y, les équations

3,97 = .r-+-o,749jr, 2 , 24 = r -+- o ,4267, o,56 = J7 -t- o,095j>', o,I9 = j:,

0,77 =^-+-o,i52jr, 1,70 = 07 H- o, 827 jr, 3,62 = .r -ho,G85jr, 4,23 =x -h 0,798/.