APPLICATION DU CALCUL DES PROBABILITÉS A LA THÉORIE DES ERREURS

La théorie des erreurs fortuites d'observation ou de mesure rentre évidemment dans celle des probabilités. Il nous suffira de rappeler ici la déflnition de la probabilité mathématique d'un événement et le théorème de Moivre sur les probabilités (composées.

Défimtion. — La probabilité d'un événement est le rapport du nombre des chances favorables à cet événement au nombre total des chances favorables ou défavorables.

Si une urne contient 100 boules blanches et 5oo boules noires, la probabilité de tirer de cette urne une boule blanche

cpra <»0 1

Si Ton jette un dé qui a six faces numérotées de i à 6, la probabilité d'amener un de ces numéros, 2 par exemple, sera^.

D'après celle définition, une probabilité exprimée en nombres est toujours une fraction; l'unité représente la certitude.

Théorème. — La probabilité de la production simultanée de plusieurs événements indépendants les uns des autres est le produit des probabilités relatives à chacun de ces événements pris à part.

RECHERCHE DE LA LOI DE PROBARILITÉ DES ERREURS. l65

Par exemple, si Ton joue avec deux dés, la probabilité d'amener sonnez, c'esl-à-dire les deux 6, sera ^ X ^ = je- ^^ Ton a trois urnes contenant Tune iS boules noires pour 75 boules blanches, la deuxième 5o boules noires et 5o boules blanches, la troisième 75 boules noires et i5 blanches, la probabilité de tirer trois boules noires en puisant une fois dans chaque urne sera

15 3iL 7 5 ± v^ i w 1 î

Un caractère constamment remarqué dans les erreurs accidentelles commises dans une série de mesures quelconques, c'est que les petites erreurs sont les plus nombreuses ; les autres le sont d'autant moins qu'elles sont plus fortes. Il pourrait donc exister une relation assignable en nombres entre la grandeur de ces erreurs fortuites et leur probabilité.

Recherche empirique de cette loi.

Prenons, en premier lieu, des observations astronomiques. Pour déterminer la position du point vernal, origine des ascensions droites, Bradley a observé 470 fois, à la lunette méridienne de l'observatoire de Greenw^ich, la différence d'^R entre le Soleil et une certaine étoile. Bessel a réduit avec beaucoup de soin ces 470 observations, dont la moyenne donne la position du point vernal d'une manière très exacte. En comparant cette moyenne avec chaque observation, on obtient 470 écarts, qui représentent à très peu près les erreurs réellement commises. On a obtenu ainsi, pour Terreur moyenne

Êi ==t k/ . ^ y la valeur ±0% 39. C'est l'erreur à craindre

sur une mesure isolée. Quant à l'erreur à craindre sur la moyenne, elle se réduit, comme nous l'avons vu, à

it-— = = o%oi7.

On voit donc que cette moyenne est à très peu près Tex-

l66 GHAP. XVII.— APPLICATION DU CALCUL DES PROBABILITÉS.

pression de la vérité ; par suite, les 470 écarts ci-defesus mentionnés représentent de très près les erreurs réellement commises.

Or, en examinant le Tableau de ces 470 erreurs, on trouve, quant aux signes, qu'elles sont indifféremment et en pareHs nombres positives ou négatives ; quant à leur grandeur, on trouve que

entre 0,0 et 0,1 il y a 94 erreurs, tant positives que négatives.

au-dessus de 1,0

Ainsi, à en juger par cette série, la probabilité qu'une erreur soit comprise entre o* et o%i, c'est-à-dire le rapport

nombro des erreurs do cet ordre

iioiiibre luial des erreurs

est

tandis que la probabilité des erreurs plus fortes, c'est-à-dire 4^, :ni), . . ., va en décroissant.

Évidemment ces fractions ou ces probabilités suivent une certaine loi : cherchons-la empiriquement à l'aide d'une construction graphique.

Si l'on clioisit un système d'axes des ûc et des x» et que l'on porte les erreurs sur l'axe des.r, on ne saurait porter les probabilités correspondantes sur l'axe des x» car la probabiKt(' d'une erreur x déterminée, c'est-à-dire comprise entre x ei X + (Ixy doit être infiniment petite; elle n'est finie que si \e^ limites de l'erreur diffèrent elles-mêmes d'une quantité finie. On est donc conduit à chercher graphiquement une courbe y-z=f[x) telle que les probabilités ci-dessus soient représentées par les aires comprises entre les couples d'ordonnées qui répondent aux abscisses o'' et o%i, o%i et o',2, .... Comme