ST

La force appliquée au centre de la planète est une attraction inversement propor REA au carré de la distance au centre du Soleil.

3. Cherchons enfin la signification de Ja troisième loi du mouvement planétaire. La constante G est la vitesse aréolaire : c’est le rapport de l'aire ra V1 7e? de l’ellipse, dont le demi-grand axe est a, à la durée S de la révolution planétaire :

n°4 ce = 4; d’où à:

4 D A SE = Ames ee — SET

D’après la troisième loi du mouvement planétaire, le rapport

est indépendant de la planète considérée ; 1} en est donc de même du coefficient

k A UN

et la force appliquée au centre de la planète a pour expression

F=k dans laquelle la constante k est valable pour tout le système pla= nélawre.

Comètes. — [étude ci-dessus n’a fait aucune hypothèse sur la grandeur de Pexcentricité e. Or ce n’est que par la valeur de 8e qu'un mouvement cométaire diffère (dans son plan) d’un mouve- « ment planétaire, et nous savons que la troisième loi du mouvement planétaire peut-se mettre sous une forme applicable aux orbites paraboliques. Les comêtes sont donc, comme les planètes, atürées vers le Soleil proportionnellement à leur masse, et en raison inverse du carré de la distance au Soleil : le coefficient de proportionnalité 4 est le même que celui qui sert à exprimer l’attraction subie par les planètes. j ‘4

Satellites. — Les satellites se meuvent autour des planètes comme celles-ci se meuvent autour du Soleil, et les résultats qui viennent d’être acquis sont applicables au moins aux planètes entourées de plusieurs satellites (de façon que la troisième loi de ce mouvement ait l’occasion de s'appliquer) : chaque satellite est atüré par la planète en raison inverse du carré de sa distance à celle-ci, et les attractions subies par plusieurs satellites d’une même planète ne dépendent que de leurs masses et des distances à la planète. Ainsi, si u est la masse d’un satellite, p sa distance à F la planète, à le demi-grand axe de son orbite, Z la durée de sa révolution, la force attractive ® à pour expression U

où

et le coeflicient k est le même pour tous les satellites d’une même planète, mais varie d’une planète à l’autre.

Attraction terrestre. — (es conclusions ne sont plus légitimes pour la Terre qui ne possède qu’un satellite, de sorte que l’observation ne peut y vérifier la troisième loi du mouvement elliptique. Mais nous connaissons expérimentalement la valeur de: l'accélération g due à la pesanteur et, après déduction de la force centriluge, la valeur g, de lPattraction terrestre en un point de l'équateur, à la distance R, rayon équatorial, du centre de la Terre. Si un satellite décrivait une circonférence à cette distance, son accélération normale serait égale à g,. D'autre part, la Lune décrit une orbite, que nous considérons comme circulaire, à la distance 60,27 R, en 27 j. 7 h. 43 m. 41 <., 5 ou 2 360 591 s., 5 ; son accélération normale est donc

K K AT A0 27e 1

OnAOD APR RS ele M OB60 0010) MODE

Or, le calcul du premier facteur, avec le mètre pour unité,

fait précisément retrouver l'accélération 9, due à l'attraction terrestre. Ainsi, l'accélération que la Lune subit de la part de la Terre est égale à l’accélération que celle-ci imprime aux corps de la surface, multipliée par le carré du rapport du rayon terrestre au rayon moyen de l'orbite lunaire. C’est la même force, inversement proportionnelle au carré de la distance, qui retient les corps

à la surface de la Terre et la Lune sur son orbite. |

Attraction universelle. — Le Soleil attire une planète de masse » avec une intensité (km : r°), et cette planète attire tout point matériel de masse u avec une intensité (ku : p°) ; appliquons ce résultat au Soleil lui-même, de masse M : alors p —r, et l'attraction de la planète sur le Soleil est égale à (kM : r?) : ces deux attractions sont égales et

MR ELU mhk — M, ar

3 | Mais ceci est vrai pour toutes les planètes de masses #2, m,.… et de coellicients d'attraction k’, k”.. respectivement. On a donc la suite de rapports égaux ki K K' K ME En ne

Soit f leur valeur commune. Le coefficient d’attraclion propre au Soleil devient fM, et lattraction du Soleil sur une planète de masse #» à la distance r s'exprime par

fMm

Les coeflicients d'attraction propres aux différentes planètes deviennent fm, fm, fm", et leurs attractions sur des satellites de masses u, u’, a”... aux distances p, p’, p",... s'expriment par

E10 NUS LORS LENS D LENS D ANR LONUNE [Il apparait donc comme une loi tout à fait générale que deux corps quelconques s'atlirent proportionnellement à leurs masses el en raison inverse du carré de leur distance. C’est la loi de latiraction universelle. (1)

(1) Il semble résulter de recherches récentes que la loi de l’attraction universelle s'étend même au milieu introduit sous le nom d’éther par les physiciens comme agent de production on de propagation des phénomènes électriques, magnétiques. lumineux, calorifiques : à la surface de la Terre, 1l faudrait environ 405 km d'éther pour atteindre un poids d’un kg. Ces considérations perdent évidemment toute signification daus les hypothèses d’après lesquelles l’éther serait aussi l'agent de la gravitation.

Dans la formule qui exprime cette loi, f est l'attraction de l’unité de masse sur Punité de masse, à une distance égale à l'unité. À condition de prendre pour unités le centimètre, la masse dun centimètre cube d’eau à 4° et la seconde de temps moyen, des déterminations expérimentales ont fourni

La loi de lattraction universelle contient plus que ce que permettaient strictement les lois du mouvement des planètes, des comèles et des satellites et observation de la chute des corps à la surface de la Terre. Au contraire, si les lois du mouvement planétaire étaient rigoureuses, l'attraction universelle serait inacceptable. En effet, toute planète, d’après cette loi, subit non seulement l’attraction solaire, mais aussi celle des autres planètes ; entre autres perturbations, la résultante des forces qui agissent sur elle ne passe plus tout à fait par le centre du Soleil où par un point fixe quelconque, et la loi des aires ne peut plus se vérifier parfaitement. Il importe-donc de reprendre l’étude du système planétaire en admettant l'hypothèse de lattraction universelle, de calculer les mouvements nécessaires des astres dans cette hypothèse, et de chercher si l’observation confirme les écarts qu’elle leur impose vis à vis des lois du mouvement elliptique.

Problème des deux corps. — Équalions différentielles du mouvement relatif. — Commençons par le cas le plus simple dans lequel deux astres seulement, de masses M et°m, se trouveraient en présence : le Soleil et une planète (ou le Soleil et une comète, ou une planète et un satellite) (4).

Par rapport aux axes des principes de la mécanique, soient (X, Y, Z) les coordonnées du Soleil M, et soient (X + #, Ÿ + y,. Z + 2) les coordonnées de la planète ; posons

(1) Si la planète possède des satellites, m est la masse de la planète et de ses satellites, et le mouvement cherché est celui du centre de gravité de cet ensemble.

(2) On voit que l’on raisonne, dans le problème des deux corps, comme si la masse de chacun d’eux était condensée à son centre de gravité. On démontre

Par rapport à ces axes Îles équations différentielles du mouvement de la masse M sont

UN RRSE T We — [Mn he 7 Mrs —= fMms , LES PERS M FT TE fMm

À 2 dans lesquelles, aux seconds membres, un facteur en le

cosinus de l’angle que fait avec laxe correspondant la direction du segment »; celui-ci se projette sur cet axe suivant la différence des coordonnées de même nom : (X + x) — X,...

De même, les équations différentielles du mouvement de la planète sont

nm. X + x æ RSR ne

HACY m- ie beta fMm) MT L +2 z ( . Dour fMm

Pour déduire de ce double système les équations différentielles du mouvement de la planète par rapport à des axes parallèles aux premiers et passant constamment par le centre du Soleil, il suffit de diviser chaque équation du premier système par M, chaque équation du deuxième par m, et de soustraire deux à deux les équations ainsi écrites. En posant

cependant que ceci n’est exact que si les deux corps sont formés de couches sphériques homogènes Or, il n’en est pas ainsi ; mais on démontre encore que l'erreur commise diminue comme le carré des rapports des dimensions des deux corps à leur distance. Elle est négligeable pour les corps célestes.

on obtient

dx x de + u- = 0,

DE / a . ut = (UE

d?2 2 dé ae es AE

Ainsi, le mouvement relatif de la planète par rapport au Soleil est le même que si le Soleil était immobile, à condition d'augmenter la masse de celui-ci de la masse de la planète (1).

Intégrales premières. — 1. Dans chaque couple d'équations du mouvement, multiplions chaque équation par la variable qui, outre », entre dans l’autre, et retranchons membre à membre ; les termes finis disparaissent pour laisser une équation comme

d?2 dx

Var tar 0

d’où, et pour les autres combinaisons semblables, avec A, B, G constantes d'intégration :

(1) Il était facile de l’apercevoir dès avant d'écrire les équations du mouvement. La distance des deux astres étant 7, les accélérations absolues, dirigées positivement vers le Soleil, sont

— je pour le Soleil, f : pour la planète.

L’accélération relative de la planète est donc

et la force relative d'attraction est

f (M LUE

302 LENS UNIVERSELLE " ñ ge D B,

De ces intégrales des aires on déduit, comme il est nécessaire lorsque la force passe par un point fixe : 4

4. La somme des produits par #, y, z RÉSper EEE des expressions égalées à À, B, C, est égale à zéro, |

Az + By + Ce —0,

et la planète se meut dans un plan passant par le centre du Soleil.

9. Les projections du rayon Soleil-planète sur chacun des trois plans coordonnés se déplacent avec une vitesse aréolaire constante, À, B ou C : cette projection baluie des aires proportionnelles aux temps. 1] en est par conséquent de même sur tout autre plan ; il en est ainsi, en parliculier, sur le plan même de la trajectoire : le mouvement planétaire observe la loi des aires. Dans le plan de la trajectoire, la vitesse aréolaire est <

Fa ee 9 VAï+ B +6, au double de laquelle on donne le nom de constante des aires.

Il. D'autre part, Paddition des équations du mouvement multipliées par 2dx, 2dy, 2dz, fait apparaître une nouvelle différentielle exacte :

AU UE HR Lee é Érue PE UT NA er

La quantité entre parenthèses est le carré de la vitasse V de la M planète ; d’où, au moyen d’une constante d'intégration (u : &),

comme on aurait pu l’écrire immédiatement en invoquant le principe des forces vives.

Cette intégrale offre un premier moyen de déterminer la nature de la trajectoire ; car y exprimant V au moyen des coordonnées polaires de la planète dans le plan de sa trajectoire, et dont r est l’une, on obtient une équation différentielle du premier ordre entre ces coordonnées. Cette équation s'intègre sans difficulté par simple séparation des variables.

Equation différentielle en r. — Proposons nous plutôt d'étudier d’abord le mouvement de la planète le long de la droite issue du Soleil. Posons