ER ED MR
où les cosinus directeurs (@, 8, x) de cette direction sont liés par
DRE D NN AO 0 lent) et sont, par suite, tels à chaque instant que, par trois dérivations, Fa D — 0 (b) (c) HR 0e oo
Par ce changement de variables, les équations du mouvement s’écrivent d'a A 107 1° Re RirrE Ne MEL) ae + at | tt)
fe D'OTEUR PU Ke ns emule 0 3 EY dy «47
U W N PTE + 2 17 Fr mTe El Aÿ)
Pour nous débarrasser des a, 8, x, effectuons sur les équations
ci-dessus les combinaisons suivantes, dont les résultats se simplifient en vertu des identités (a) et (b).
4. Addition membre à membre des équations du mouvement multipliées respectivement par à, B, Y :
Ho d°r r°2a et 1 dE qu (e)
9, Addition membre à membre des équations du mouvement
He. a MEL RAP TeN multiphiées respectivement par RON D PTE ne d°a "à 9 : es A EL R)= 0.270
3. Dérivation des équations du mouvement, et addition membre à membre des équations obtenues multipliées respectivement
par à, 8, T :
NOT: DONS RsENU ie dr Gt ENS ee di nt PE Nous sommes en présence de cinq équations (e, d, e, f, g)
renfermant les grandeurs à éliminer (a, B, y) sous les seules HUE formes
Re Leur élimination laisse l’équation différentielle cherchée : 1 mo CRE D (Ù — (); y (] () 5 1 (Ù # A Poe Mr 2 pr 1 0 # Ventre 0 trot il
ou
ATTRACTION UNIVERTELLE 305
Une première intégration est immédiate : introduisant une constante arbitraire q, on écrit
Nature de la trajectoire. — Nous savons que la trajectoire planétaire est plane et nous avons écrit équation de son plan :
Az + By + GC: = 0. (1)
D'autre part nous venons d’obtenir une équation différentielle en » qui peut remplacer lune des équations du mouvement, de manière que, par exemple, les deux systèmes
AL RE) “Her | tu . d'y ee) a tu 0 at FE 2 2 d?z EAU LE Ta arr ut
sont équivalents. Ainsi le point mobile dont les coordonnées seraient &, y, 7 — q aurait aussi une trajectoire plane, et le plan de celle-ci passerait par l’origine : ces coordonnées sont unies par une équation linéaire homogène,
Ux + Vy + Wir — q) = 0. (2)
La trajectoire planétaire est donc lintersection du plan (4) et de la surface SUN par l’équation (2) ; or, dans cette équation, : vaut V2? + y? +2? et la surface correspondante est une quadrique. La courbe décrite par le point (x, y, 2) est donc uñe section conique. De plus, d’après l’équation (2), le rayon vecteur » est une fonction linéaire de x et de y ; il en est de même par rapport à y et 2, z et x; et Le centre du Soleil, origine des coordonnées, est un foyer de la conique décrite par la planète.
Eléments géométriques de l'orbite. — Nous savons que les éléments de l’orbite sont au nombre de six : cinq éléments géomé- | | 20
triques et un élément cinématique (sans compter üun élément
dynamique, la masse de la planète). Or, nous avons introduit .
jusqu’ici cinq constantes géométriques : les rapports de deux des quantités À, B, CG à la troisième, — les rapports de deux des qüantités U, V, M à la troisième, — et la constante d'intégration q.
Il s’agit maintenant de calculer les éléments géométriques ordinairement considérés, en fonction des éléments géométriques actuels.
Le calcul des coordonnées polaires (a, d) de la normale au plan de l'orbite est sans difficulté : en posant
INR NA EP ED on trouve SO CK COS 0 RE » Sin Q Seuls. COS Ô sin Ô Pour calculer, en fonction -de U, V, W et q, les éléments de l’orbite dans son plan, effectuons un changement de coordonnées qui donne le plan de l’orbite pour nouveau plan XY : les cosinus directeurs du nouvel axe Z sont AK, BK, CK ; appelons (A,, B,, G,) et (A,, B,, G,) les cosinus directeurs des nouveaux axes X et Y, respectivement. | La transformation consiste à remplacer dans lPéquation de la quadrique | x par AÀ,r + À,y + AKz, y » Br + B,y + Bkz, 2 » Oz + G;y + CKz ;
et l’équation de la conique même s'obtient en remplaçant 2 par
zéro dans l’équation ainsi obtenue :
pou Va = q— À (Ar + Au) — À (Bi + BA).
Il est avantageux d'obtenir l’équation de cette conique en coordonnées polaires r etv, à quoi l’on arrivera, enfin, par la substitution ’
