COORDONNÉES D'UNE DIRECTION

Axes coordonnés. — Par le point quelconque O de l’espace faisons passer trois droites dirigées telles que chacune soit perpendiculaire au plan des deux autres ; et appelons ces trois droites axe X, axe Ÿ, axe 7.

Le système d’axes rectangulaires OXYZ ainsi formé est dit rétrograde (droitier) ou direct (gaucher) suivant qu'un observateur debout sur le plan XY, la tête vers la partie positive de l’axe Z, et regardant dans la direction positive de l’axe X, a la direction positive de l'axe Y à sa droite ou à sa gauche.

Coordonnées polaires d’une direction. — Par l’origine O du système d’axes rectangulaires OXYZ, faisons passer une droite

FIG

dirigée quelconque 7 (fig. 1). Les coordonnées polaires de cette direction r issue de l’origine sont les angles définis, à un nombre entier de tours complets près, par les propositions suivantes :

1° L’angle a, dit angle de position, ayant pour origine Paxe X, pour extrémilé la projection »’ sur le plan XY de la droite dirigée considérée, et compté positivement dans un sens tel que lPaxe Y ait un angle de position égal à plus un angle droit.

2 L'angle d, dit angle de pente, ayant pour origine la projection ?” sur le plan XY de la droite dirigée considérée, et compté dans un sens tel que l’axe Z ait un angle de pente égal à plus un angle droit.

Mais la droite dirigée » se projette sur le plan XY aussi bien suivant la droite dirigée 7’ que suivant la droite dirigée r”! directement opposée. Ainsi, à toute direction » correspondent deux oroupes de coordonnées polaires, (a', d’) et (x”, à"), avec les relations

DR =, M0 0 re

Sauf stipulation contraire, on à l'habitude de diriger la projection de > de manière que la valeur absolue de l'angle de pente ne surpasse pas un droit.

Le lieu géométrique des droites dirigées ayant même angle de position est un plan passant par laxe Z. Le lieu géométrique des droites dirigées ayant même angle de pente est un cône de révolution autour de laxe Z.

Une droite dirigée » issue de l’origine est parfaitement déterminée par son angle de position à et son angle de pente à. En effet, la demi-droite qui a la direction positive de > est l’intersection du demi-plan issu de l’axe Z, lieu des demi-droites d’angle de position a, et de la nappe conique issue de lorigine, lieu des demi-droites d’angle de pente à.

Les coordonnées polaires des axes coordonnés sont :

AS NA A0) UE AXON NO PU DU axe Z. aœindélerminé, = 1 dr.;

dans toute relation entre «à et à, a devra disparaître lorsqu'on fera d— + 1 dr.

Une droite dirigée ayant pour coordonnées polaires a et à; la droite dirigée directement opposée a pour coordonnées polaires

0, 4 FE 2dr, Ùd— 0.

Les coordonnées polaires d’une droite dirigée ne passant pas par l’origine sont celles de la droite dirigée parallèle passant par l’origine. Sa détermination exige, en outre, la connaissance d’un de ses points.