I. L'intégrale de la force vive est

Or es à = () +0) = (0) + Van

d'ou, tous calculs faits, une équation qui donne l’expression de & en fonction des constantes précédentes :

Re : La Ainsi, dans une orbite elliptique, où (he ai Te e*),

la constante &, se confond avec le demi-grand axe a.

Dans une orbite parabolique, 1 : à = 0, et l'intégrale de la force vive se réduit à Ve 2u

Dans tous les cas, Péquation de la force vive peut s’écrire

et l'orbite est une ellipse, une parabole ou une hyperbole suivant que la constante

est négative, nulle ou positive. La nature de la conique planétaire ne dépend donc, à un instant déterminé, que de la grandeur de La vilesse, non de sa direction.

Problème des (n + 1) corps. — Autour du Soleil gravitent,

non pas une, mais un grand nombre de planètes, et celles-ci ajoutent à l’attraction solaire leurs attractions mutuelles.

Le problème des deux corps est donc insuffisant : il faudrait considérer toutes les planètes à la fois ; écrire que l’accélération totale de chacune d'elles, multipliée par sa masse, est égale à la résultante des attractions du Soleïl, des (n —1) autres et de la force fictive introduite dans l'étude du mouvement relatif par rapport au Soleil ; obtenir ainsi 8n équations différentielles dont la résolution donnerait les coordonnées des » planètes à tout instant, en fonction de leurs coordonnées et de leurs vitesses à un instant donné.

Encore qu’un progrès considérable ait été récemment réalisé par l'intégration des équations différentielles du problème des trois corps, les ressources actuelles de lanalyse ne permettent pas la

résolution du problème des (x + 1) corps ; aussi doit-on procéder .

par approximations successives. La prépondérance de la masse solaire, la petitesse des dimensions des planètes vis-à-vis de leurs distances permettent de considérer le problème des deux corps

d » à ER doutitt ur. et D 2 ir EE

(et le mouvement elliptique) comme une première approximation que des corrections viendront pertectionner de plus en plus : c’est l'étude du mouvement elliptique troublé, ou le calcul des perturbations subies par le mouvement elliptique. Nous allons exposer, dans son principe, la méthode de la variation des constantes arbitraires.

Les équations différentielles du mouvement troublé sont de la forme

d°x x 1 dt? + 7° Ka X, d?r 1 mie 1) d?z z , dl a Ms &

dans lesquelles on reconnait les termes dus à l'influence prépondérante du Soleil, et où X, Y, Z représentent les termes dus aux autres planètes.

Soient = fi(é, d, 4, ds, Ua Gs, A6), y = fat, di, de, A, Ga, Us, A), I VO hu 0)

les intégrales des équations du mouvement non troublé. Elles satisfont aux équations différentielles ci-dessus dans le cas particulier où

Xe DO 7 0

et renferment six constantes d'intégration liées par des équations distinctes aux six éléments elliptiques, et qui peuvent être, par conséquent, ces six éléments eux-mêmes.

Dans le mouvement troublé, ces éléments sont variables, et le problème consiste dans leur calcul en fonction du temps, de façon que le passage de la planète de la trajectoire elliptique à la trajectoire troublée se fasse sans discontinuité dans la vitesse, ni en direction, mi en grandeur. Si nous écrivons entre parenthèses

les dérivées par rapport au temps à la fois explicite et contenu dans les éléments variables a, on doit donc avoir :

ae de (tar) dy de = da dt dt ST DIRE PNA LAN TE c’est-à-dire M LT LE GA PEN dz da Duu d Due duc D'autre part, et eu égard à ces trois premières équations, ne LR Nr Te dx da | ee ns

dy) du dy du ( Re RE » te fd?z \ d?2 Y d’z da

CT NE da dt dt”

et comme les satisfont par hypothèse aux équations du

dt?

mouvement non troublé, (ÉCRIRE PR D NEA DEAN.

dti ME is D * ANTON Y, du di UT @)

Les équations (4) et (2) constituent un système de six équations différentielles du premier ordre en a,, a, .. «a, ; la petitesse des termes perturbateurs X, Y, Z permet l’intégration de ces équations ‘par approximations successives.

Des cinq éléments géométriques du mouvement de chacune des planètes, la stabilité du système solaire exige que le grand axe, Pexcentricité et l’inchinaison sur lPécliptique ne puissent varier indéfiniment dans le même sens. Ces importantes propriétés se constatent dans les expressions de ces éléments, calculés comme il vient d’être dit. Les grands axes (et, par conséquent, les moyens mouvements) ne présentent que des inégalités périodiques ; cependant, lorsque les moyens mouvements de deux planètes sont

presque commensurables, comme :l arrive aux moyens mouvements de Jupiter et de Saturne, ces planètes s’influencent l’une l’autre par une inégalité de leur grand axe considérable et dont la période est extrêmement longue. Enfin, les excentricités et les inchinaisons sont liées aux distances moyennes, de manière à devoir rester petites tant que celles-ci varient peu. La stabilité du système solaire est donc assurée.

L'hypothèse de l'attraction universelle est pleinement confirmée par la confrontation de toutes ses conséquences (sauf encore, actuellement, deux ou trois) avec l'observation. Son triomphe a été la découverte de la planète transuranienne, Neptune, par Île calcul appliqué aux perturbations constatées dans le mouvement d’Uranus. De même, certaines perturbations, mal expliquées encore, de Neptune et de Mercure ne conduiront-elles pas un Jour à la découverte de planètes transneptuniennes et intramercurielles ? À moins que ces perturbations ne trouvent (comme il le semble déjà pour Mercure) leur explication dans la mécanique nouvelle que les physiciens tirent aujourd’hui du principe de reluhivilé, et dont il ne sera bientôt plus possible de ne point parler dans un cours, même élémentaire, d'astronomie.

Précession. — Nous allons chercher à nous rendre compte, d’une manière élémentaire, de la cause mécanique du phénomène de précession.

Considérons le sphéroïde terrestre, de centre T et figurons-le (fig. 31) par sa projection équatoriale et par sa projection‘dans le plan déterminé par son axe de symétrie TP et la position du SoleilS. Soit y la direction de Péquinoxe de printemps. Supposons, pour fixer les idées, la déclinaison du Soleii positive et décroissante (été). Si la Terre était sphérique (et constituée de couches homogènes), la résultante des attractions du Soleil sur l’ensemble de ses points passerait par son centre T. Mais il n’en est pas ainsi ; considérons la Terre comme ellipsoïdale de révolution (et constituée de couches de révolution homogènes). Pour une déclinaison du Soleil positive, la partie du renflement équatorial la plus voisine du

Soleil a une déclinaison moindre que celui-ci et la résultante des attractions solaires, située dans le plan PTS par raison de symétrie, rencontre l’axe terrestre en un point situé, comme en L, entre le centre T et le pôle sud. Cette résultante tend donc à imprimer à la Terre une rotation autour de la perpendiculaire menée par F au plan PTS, et située, par conséquent, dans le plan de l’équateur.

nelle à la vitesse angulaire (sans que nous ayons même à nous faire une idée de cette grandeur), et le sens tel que, pour ce sens, la rotation soit directe (gauchère). Figurons aussi la rotation non troublée de la Terre autour de son axe de symétrie TP, suivant les mêmes conventions, par un vecteur TR.

Décomposons la rotation perturbatrice Tr, dans le plan de l'équateur, en Tr’ suivant l’équinoxe v, et en Tr’ suivant la perpendiculaire à l’équinoxe, qui se confond avec la projection équatoriale de Ja ligne des solstices. Ù

Si la rotation perturbatrice se réduisait à Tr”, la rotation figurée par la résultante TR' des vecteurs TR et Tr tendrait à amener à l'équateur dans le plan perpendiculaire à sa direction, et ferait,

Figurons cette rotation par un vecteur Tr perpendiculaire au 4 plan PTS, dont l’origine est en T, la longueur censée proportion- A \

par conséquent, rélrograder l’équinoxe dans l’écliptique. Cette rétrogradation de l’équinoxe, au moins dans la situation actuelle, est donc une première conséquence de laplatissement du sphéroïde terrestre. La composante Tr” (nulle aux passages du Soleil aux équinoxes, maximum aux passages aux solstices) est toujours dirigée vers l’équinoxe de printemps, et c’est toujours une rélrogradation qu’elle imprime à celui-«1.

D'autre part, Si la rotation perturbatrice se réduisait à Tr”, la rotation figurée par la résultante TR" des vecteurs TR et Tr” tendrait à amener l’équateur dans le plan perpendiculaire à sa direction, et ferait, par conséquent, varier l’obliquité de l’écliptique. Cette deuxième conséquence de Paplatissement du sphéroïde terrestre est, dans la situation actuelle, une augmentation de Pobliquité. Comme la composante Tr”',nulle aux passages du Soleil aux solstices, appartient au méridien du solstice d’été ou au méridien du solstice d'hiver suivant que la déclinaison du Soleil est décroissante ou croissante, cette rotation perturbatrice augmente l’obliquité de l'équateur sur lécliptique en été et en automne, et diminue cette obliquité en hiver et au printemps : Cette variation périodique à courte période est inappréciable.

Si la Terre ne pouvait pas être considérée comme de révolution, la rotation perturbatrice Tr n’appartiendrait pas au plan de l’équateur, et 1l faudrait lui donner une troisième composante Tr” perpendiculaire aux deux premières Tr” et Tr”, c’est-à-dire située le long de l’axe de rotation non troublée ; cette nouvelle composante perturbatrice s’ajouterait algébriquement à la rotation non troublée pour rendre un peu variable la vitesse de rotation de la Terre en fonction de la déclinaison solaire.

Ce qui vient d’être dit de Pattraction Solaire peut se répéter pour l'attraction lunaire. Les effets perturbateurs de ces deux attractions s’ajoutent de manière à provoquer une rétrogradation continue de l’équinoxe. La vitesse de ce mouvement se décompose en une partie constante et en une petite partie périodique. La première est la précession proprement dite. Dans les expressions données au chap. ff de la deuxième partie nous n’avons pas parlé

de la partie périodique de cette vitesse, pas plus que des petites variations périodiques de lPobliquité de lPécliptique.

Calcul de l'aplatissement de la Terre par les observations astronomiques. — Si la Terre était, plutôt qu’un ellipsoide aplati, un ellipsoïde de révolution allongé, les conclusions ci-dessus seraient renversées el la ligne des équinoxes serait animée d’un mouvement direct dans l’écliptique. — Pour une loi déterminée de la variation de la densité des couches ellipsoïdales dont la Terre est censée composée, la constante de la précession est une fonction de l’aplatissement terrestre. — Inversement, dans l’hypothèse de telle variation des densités, l’aplatissement terrestre se calcule au moyen dela constante de la précession, et se déduit, par conséquent, d'observations astronomiques. — Enfin, le rapprochement de la constante de la précession et de l’aplatissement terrestre connu par les mesures géodésiques, permettrait de préciser une loi de variation des densités à laquelle on aurait laissé une indétermination convenable.

Nutation. — Nous venons de voir que les petites variations périodiques dues à la même cause que là précession sont négligeables.

Ceci reste vrai tant que le plan de lorbite de l’astre troublant garde une inclinaison constante sur le plan de léquateur. Il n’en est pas ainsi pour la Lune : le plan de lorbite de cet astre garde une inclinaison à peu près constante sur le plan de lécliptique, mais la rétrogradation de la ligne de ses nœuds fait varier de 18 à 28° son inclinaison sur le plan de l’équateur.

Il en résulte une perturbation périodique dans le phénomène

de précession ; et cette perturbation a pour période la révolution

des nœuds lunaires, à savoir 18 ans 2/8. Elle consiste dans une variation notable de la vitesse de rétrogradation de l’équinoxe et une oscillation marquée de l’obliquité de l’échiptique. Nous avons vu que les choses se passent comme si l’axe terrestre vrai décrivailt un petit cône elliptique autour de l’axe terrestre moyen, affecté de la seule précession.

Existence des surfaces terrestres de niveau. — Cherchons la condition pour que l’ensemble des verticales soit un ensemble de normales ; c’est-à-dire pour qu’il existe des surfaces de niveau, surfaces perpendiculaires à la verticale de chacun de leurs points.

Construisons un système d’axes invariablement liés à la Terre. Soient (x, y, 2) les coordonnées d’un point quelconque, et fe, y, 2), fe (x, y, 2), fe (æ, y, 2) les composantes de la pesanteur en ce point.

fs 2, fs Sont proportionnels aux cosinus directeurs de la verticale. La condition de perpendicularité de la verticale à une certaine surface est donc

f de Tidy + {5 dr =, qui est l’équation différentielle de cette surface.

Pour que cette équation différentielle soit complétement intégrable, il faut et il suffit qu’on ait identiquement

(D -)+ (0) (de) 0:

dy dz dz dx DUC dy et cette condition est indépendante des axes coordonnés.

Cette condition est vérifiée, en particulier, si chaque différence entre parenthèses est identiquement nulle. Nous allons voir qu’il er est ainsi si la résultante de toutes les forces réelles qui agissent sur le point considéré admet une fonction de forces, Ü, ce qui est le cas des forces inversement proportionnelles aux carrés des distances.

Prenons pour axe Z l’axe de rotation de la Terre. Appelons » la masse du point, w la vitesse angulaire de rotation de la Terre par rapport aux axes des principes de la mécanique.

Les composantes de la pesanteur sont

f = D — mutz , kR=—= a. — muy , =.

La condition d’intégrabilité se vérifie immédiatement. L’intégrale générale est

GES W(2* + y*) = GC.

La constante C est déterminée dès qu’on impose à la surface de niveau de passer par un point. Le géoïde, en particulier, est déterminé par un seul de ses points. Il n’y a pas de solution singulière.