D NS
cos V + 1 ;
d’où COS NS = 1 rs VE ED
Cône déterminé par trois directions. -— (Juelle est l'équation du cône dont le sommet est à l’origine et dont trois génératrices ont rreclions. (a 0). (0.,10,) 100, 0)?
L’équation
a cos à + b sin à + c te d — d séc d de ce cône doit être satisfaite par (a, d,), (a, à.) et (a, à) :
dCos d TD SINno, PcCig do, — dséc d, diCOS 0, + D Sin Œ Cig 0, — diséc d,, a cos à, + b sin à, + c ig d, — d séc à.
L’élimination de &, b, c, d laisse l'équation demandée :
COS dl in @ tg à SOON U).
COS @, Sin @, to à, séc à, | | COS Sin ®, tg à, séc d, | COS SIN 4, to à, SÉGI0S NE Intersection de deux cônes. — Quelles sont les coordonnées
(a, d) des deux droites d’intersection des deux cônes
a, cos à + b, sin à + c, tg d — d, séc à, a, cos à + b, sin à + c, tg d = d, séc à ?
Pour éliminer à, résolvons ces équations par rapport à séc à et tg à, et substituons dans lPidentité
séc” d — tg° d — 1.
Pour simplifier les écritures, formons le tableau
(RAC RIRES, 4) a b, Ca d; |
dont les colonnes sont numérotées 1, 2, 3, 4. Ces colonnes prises deux à deux forment 12 déterminants, deux à deux égaux et de signes contraires. Notons
An le déterminant composé de la colonne m» suivie de la colonne ». L’élimination de à laisse alors l’équation
(A, eos à + À,, sin a) —{(A,{cosa A, sin a) AN
d’où l’on tirera facilement tg à, sous deux valeurs réelles ou imaginaires.
Pour éliminer a, résolvons le système proposé par rapport à sin à& et cos &, et substituons dans l'identité
sin? à + cos? à — 1.
Nous obtenons l’équation ë . > (ASIN O ERA EE CEROART
du second degré en sin à, et dont la résolution se fait sans difficulté.
La condition de réalité des racines tg a et sin à de ces deux équations s’interprète facilement : il faut et il suflit que la distance angulaire des axes des deux cônes ne soit pas plus grande que la somme de leurs demi-ouvertures.
Équation d'un plan passant par l'origine. — [ans le cas particulier où V=1 dr. (cos V — 0), le cône se réduit à un plan. Ainsi, le plan passant par l’origine et dont les coordonnées polaires de la normale sont (@,, d,) a pour équation
sin à, sin à + cos d, COs à cos (a, — à) — 0 ou | Lg d, lg b + cos (a, — a) —0
COORDONNÉES D'UNE DIRECTION 15 ou.
COS ü, Cos à + sin à, sin à + te à, tg d— 0, équation de la forme a cos à + b Sin à + c tg d — 0.
Les cosinus directeurs de la normale sont proportionnels à (atbc).
Les droites d’intersection des deux cônes proposés au problème précédent appartiennent au plan
À,, cos a + À,, sin à + À,, tg d —0
dont l’équation résulte de l’élimination de sée à entre les équations de ces deux cônes.
Angle de deux plans. — (Juel est l'angle des deux plans a, cos à + b, sin a + c, tg d — 0, a, cos à + b, sin à + c, ig d = 0 ?
Il est égal à l'angle de leurs normales, et celui-ci a pour cosinus dde + 0,0, + cc NICE TERET Plan déterminé par deux directions. — (Juelle est l'équation du plan passant par l’origine el déterminé par deux directions
(ou, d,), (a, OO) L’équation
a cos à + b sin a + € tg d —0 de ce plan doit être satisfaite par (@,, d,) et (@,, à) :
a cos à, + b sin a, + c tg à, — 0, a cos à, + b sin à, + c tg à, = 0.
L’élimination de «, b, c laisse l’équation demandée :
| cosa sin d tg d | — ().
COS d, sin o, 10 | | o TRES cos d sin 4 tg à, |
Intersection d’un cône et d’un plan. — Les équations en «& et à, coordonnées des intersections de deux cônes, subsistent dans le cas particulier où lun des cônes se réduit à un plan, par exemple lorsque
AU
Chaque déterminant dont un indice est 4 a lun de ses termes
qui s’annule.
Intersection de deux plans. — Appliquons aux plans a, cos à + b, sin a + €, tg d— 0, a, cos à + b, sin à + €, tg d—0
les équations relatives à intersection de deux cônes. fei RÉ TA NL et le système à huit éléments s’écrit | b, gi Û | HET b, Ca 0 | Les déterminants ANUS ANS A7
s’annulent, et les équations se réduisent à
A3 cos à + A» sin a —Ü,
sin? à (AË3 + A3) — A, d’où
Par exemple, les deux plans COS 0, cos à + sin ©, sin à + tg à, 1g d—(, COS à, COS à + sin à, sin à + te à, tg d—0 se coupent suivant la droite
COS ©, tg à, — cos à, tg à,
go — — — è ë sin @, tg à, — sin «, tg à,”
