TRANSFORMATION DES COORDONNÉES RECTILIGNES

difficulté, et nous nous limiterons au cas dans lequel le système primitif et le système nouveau ont la même origine 0. Supposons, de plus, que les sens de ces deux systèmes doivent être les mêmes.

Appelons A l'angle de position et B l'angle de pente de l'axe X par rapport aux axes OXYZ (fig. 2).

FIG

4. Autour de l’axe Z faisons tourner d’un angle À l’ensemble des axes X et Y, de X vers Ÿ ; et soient X, et Ÿ, respectivement les positions nouvelles de ces deux axes. Les formules de passage du système OXYZ au système OX,Y,Z sont

Z—% COS À — y, Sin À, y = X, Sin À + y, cos A.

2. L’axe Ÿ, est perpendiculaire aux axes X,, X et Z. Autour de l'axe Y, faisons tourner d’un angle B l’ensemble des axes X, et Z, de X, vers Z : l'axe X, vient en X’, et soit Z, la position nouvelle de l’axe Z. Les formules de passage du système OX,Y,Z au système OX'Y,Z, sont

— 4" COS B — 2, sin B, 2—Tisinb Ex cos D:

Le,

3. L’axe X' est perpendiculaire aux axes Y,, Y’, Z,, 2’, et l’angle (Y,Y’) est égal à l’angle (2,7) ; appelons cet angle C. Autour de axe X’ faisons tourner d’un angle C l’ensemble des axes Z, et Y,,

de Z, vers Ÿ, ; ces axes viennent respectivement en Z'et Y’. Les formules de passage du système OX'Y,Z, au système OX'Y'Z' sont

y, —=Yy cos Ü — 2" sin OC, 2, = y" Sin GO + 2’ cos C.

L’élimination de x,, y,, z,, entre ces six relations laisse les expressions des coordonnées anciennes #, y, 2 en fonction des coordonnées nouvelles x’, y,2':

æ—= x cos À cos B + y'(— sin À cos Ü — cos À sin B sin OC) + 2’ (sin À sin CO — cos A sin B cos G),

y = 5% sin À cos B + y' (cos À cos CG — sin A sin B sin CO) + 2" (— cos À sin GC — sin B sin B cos C),

2 = x sin B+y cos B sin C + 2’ cos B.

Pour en déduire, inversement, les expressions des coordonnées nouvelles x’, y’, 2’ en fonction des coordonnées primitives æ, y, 2, il suffit de résoudre ce système linéaire par rapport à #', y', 2’.

En identifiant les trois égalités ci-dessus avec les expressions de æ, y, 2 en fonction de x’, y’, 2’ écrites au moyen des cosinus directeurs des axes nouveaux, on en déduit, en fonction des quantités À, B, C, les cosinus directeurs 4,, b,, c,, 4, de ces axes:

dl — cos ACoS40, Etc.

Cas particulier. — Considérons le cas particulier dans lequel les systèmes OXYZ et OX'Y'Z" sont assez peu différents pour que les carrés et produits des mesures, en radians, des angles À, B, C soient négligeables. Nous pouvons alors remplacer les sinus de ces angles par leurs mesures, leurs cosinus par l’unité, et supprimer les termes qui contiennent les produits AB, BG, CA. Il reste ainsi

æ = x" —- Ay' — Bz!, VAT OUI z = Bx' + Cy' + 2.

TRANSFORMATION DES COORDONNÉES POLAIRES il