TRANSFORMATION DES COORDONNÉES POLAIRES

Le problème de la parallaxe réalise la transformation des coordonnées polaires pour un simple transport des axes parallèlement à eux-mêmes.

Pour une rotation des axes OXYZ jusqu’en OX'Y'Z' autour de l’origine invariable O, nous venons d'obtenir les formules de transformation des coordonnées rectilignes,

nl NT eRU Re), ! ! lA EN AU CAT 2 | ULENU Le homogènes et du premier degré.

Soient (p, &, d), (p', «', d') les coordonnées polaires d’un point M par rapport aux axes OXYZ et OX'\YZ' respectivement. Dans les égalités ci-dessus, l’élimination des coordonnées rectilignes au

5 D profit des coordonnées polaires laisse les trois équations DOU ICO 0=—/ (phCOS COS 0, pSsin a COS10 p-Sin.0 );

PR MIOICOS 0 7, (DACOS ONCOS 0, p° SIT COS CNP SIN 0).

p sin d TO ICOSUBCOSNON EDS OT COS 0) DT SIN 0).

Elles sont homogènes et du premier degré en p. p° : or. l’origine

D] > , œ) n’ayant pas changé, on a nécessairement DIERO Se et ces trois équalions deviennent BUS DICO NO (COS COS 0, COS 0, SITO:

TX 2 2 F] SiIl O COS d — f, (COS &° COS Ô’, sin «' COS d','sin d! 2 ? > , sin Ÿ 2: (CO CRC 0 ITISCOS O0 SLIFO > d’où l’on pourra tirer soit à, d en fonction de a', à’, soit a', à’ en fonction de @, à.

En vue des applications, nous devons résoudre ce problème dans chacun des cas particuliers où l’un des axes est commun aux

deux systèmes ; nous le ferons dans lhypothèse où ceux-ci sont de même sens.

4. Si axe X est commun aux deux systèmes, et si @ est la valeur des angles (YV') et (22),

NT y = Y COS P — Z Sin p, 2 = y’ Sin p + 2 COS Y; d’où :

COS 0 COS 0 — COS da COS d, sin & COS d — Sin &' COS à COS P — sin Ô sin p, sin Ô — sin COS à COS P + sin d' cos p.

9. Si l’axe Ÿ est commun aux deux systèmes, et si @ est la valeur des angles (XX') et (ZZ), LH C0S Pi 2 1Sin op.

UNE D == SU De 22 COS (DE d’où COS à COS À == Cos à COS d' COS P — sin Ÿ sin p, SIN A CON0 SIND COOL sin Ÿ — Cos à cos d’ sin p —+ sin d' cos p.

3. Si l'axe Z est commun aux deux systèmes, et si p est la valeur des angles (XX) et (YY), à = Æ' COS P — y’ Sin p, y = &' Sin P + y COS P, DEF d’où COS & COS à — COS COS d' COS P — Sin a COS d’ sin p, sin à cos d — cos à’ cos à’ sin @ + sin & cos d’ sin p,