SIT O

sin Ÿ En ne considérant que les angles de pente compris entre — n/? et + 7/2, on en üre dE T0 Q 1000,

comme il était nécessaire.

On voit par ces exemples comment on écrirait aussi les trois relations entre (a, à, «, d') en fonclion des angles À, B, CG définis au numéro précédent. Nous ne le ferons que dans le cas particulier de deux systèmes de repère assez voisins pour que les carrés et produits des mesures de ces angles soient négligeables :

COS à COS d — cos à cos à — À sin a cos d — B sin Ÿ’, sin à cos d — À cos &’ cos à + sin a’ cos d — C sin d,

sin Ÿ — B cos «’ cos d' + C sin a’ cos à’ + sin d’. Posons a — à + Au, d — d + Aù:

Aa et Aù sont des quantités petites comme À, B, C : leurs carrés et produits sont négligeables ; et les développements en séries des fonctions de ces quantités doivent être arrêtés aux lermes du premier degré. Cette opération laisse un système de trois équations linéaires en Aa, Ad, duquel on tire

Aa = — À — (B sin a — C cos à) Ig à, Ad = — B cos à — C sin o.

L'étude des instruments visuels se fera d’une manière approfondie, de points de vue différents, dans les cours d’Astronomie (partie pralique) et de Topographie. Ce que nous en dirons ci-dessous n’a pour objet que de faire connaitre lPallure générale de cette théorie : les hypothèses simplificatrices admises dans ce but seront spécifiées dans chaque cas particulier.

Classification. — Nous adopterons la classification des instruments visuels préconisée par M. Goedseels dans ses Leçons d’Astronomie à l’Université de Louvain. Cette classification répartit les instruments visuels en instruments dits primaires, binaires cl

ldernaires.

Instruments primaires. — Un instrument primaire est un ensemble d'organes déterminant une ou plusieurs droites immobiles, susceptibles d’être parcourues par un ou plusieurs rayons lumineux. Chacune de ces droites s'appelle une ligne de visée. Par rapport à une arme à feu, l’ensemble du sommet du guidon et du cran de mire de cette arme constitue un instrument visuel primaire à ligne de visée unique. L’instrument visuel primaire ordinairement employé en astronomie est la lunette astronomique.

Lunette astronomique. — On sait que la lunette astronomique: est un ensemble de deux systèmes de lentilles dont l’un, lobjectif, provoque la formation d’une image lumineuse de l’objet observé, et dont l’autre, l’oculaire, constitue avec l'œil de l’observateur un système optique par l’intermédiaire duquel à un ou plusieurs points de l’image objective correspond une image rélinienne de ces points. L'objectif et l’oculaire sont agencés et disposés de manière que l’image rétinienne finale soit plus favorable à l’observation que l’image rétinienne qui serait due à l’œil seul. En particulier, l’image rétinienne due à l’ensemble de la lunette et de l’œil doit être plus grande que l’image rétinienne qui serait due à l’œil seul : exprimée par un nombre, cette qualité constitue le grossissement de la lunette. L’instrument doit encore: posséder des qualités de neltelé et de clurté sur lesquelles il n’est pas possible d’insister ici.

Chacun des systèmes objectif et oculaire-æœil doit réaliser une. correspondance point par point de l’objet observé et de son image: lumineuse, objective ou rétinienne : c’est en quoi consiste le stigmatisme du système. De plus, 1l convient qu’à toute droite de: l’objet corresponde une droite de l’image ; c’est en quoi consiste: l’orthoscopie du système. +, y, 2 étant les coordonnées d’un point de l’objet, et x’, y’, 2’ les coordonnées du point correspondant de. l'image par rapport aux mêmes axes, on voit aisément que, pour que le système soit orthoscopique, il faut et il suffit que les équations de correspondance soient de la forme

g' — UE HO VC dt oo az +by<+ez + d°

no Qt + bay + Cet + LER ax + by + c2 + d

USE AUURERIC AU . ax + by+etd

où les rapports des coefficients a,, &,,.. b,,... à lun quelconque d’entre eux sont des constantes numériques propres au système optique considéré, et où le déterminant formé au moyen de ces coefficients est différent de zéro. On reconnait dans ces relations les équations de la correspondance homographique ; les propriétés de cette correspondance sont l’indépendance des axes coordonnés, la réciprocité, et enfin la persistance en vertu de laquelle deux figures homographiques à une même troisième sont homographiques entre elles.

De plus, pour réaliser la qualité exprimée par la fidélité de l’image, le système optique est agencé de manière qu'il existe une droite, dite axe du système, telle que

4° à tout plan perpendiculaire à cette droite corresponde un plan qui ait la même orientation,

2 les droites joignant les points correspondants de deux pareils plans passent par un même point de l’axe du système.

En prenant l’axe du système pour axe des x, ces conditions simplifient les équations de la correspondance homographique jusqu’à les réduire à la forme

Aie pa + q Fe ky x kz MAD So pr 01 px + q

avec les conditions #4 -< 0, pq — p'q Æ 0; inversement,

DO et CU

Meur J k (pr —p)

ie Tite DOTE

k(px — p)

An Y =— D

(C’est une correspondance homographique de révolution.

À un faisceau de droites parallèles du milieu-objet correspond un faisceau de droites concourantes du milieu-image ; à toute direction du milieu-objet correspond ainsi un point à distance:

finie du milieu-image; de plus, pour toutes les directions possibles du milieu-objet, le lieu des points correspondants du milieu-image est un plan perpendiculaire à l'axe du système, à savoir celui qui a pour équation

Dr pe 0!

C’est le plan focal du milieu-image, et son intersection (p': p, 0, 0) avec laxe est le foyer de cet espace, ou foyer postérieur du système optique. i

De même, à un faisceau de droites parallèles du milieu-image correspond un faisceau de droites concourantes du milieu-objet ; à toute direction du milieu-image correspond ainsi un point à distance finie du milieu-objet ; de plus, pour toutes les directions possibles du milieu-image, le lieu des points correspondants du milieu-objet est un plan perpendiculaire à l'axe du système, à savoir celui qui a pour équation

DLDEUEAU:

C’est le plan focal du milieu-objet, et son intersection (—q : p,0,0) avec l’axe est le foyer de cet espace, ou foyer antérieur du système optique.

Les objets observés par les astronomes au moyen de la lunette étant extrêmement éloignés, leurs images objectives se forment dans le plan focal postérieur de objectif. Au contraire, les objets observés par les topographes au moyen de la lunette sont à distance médiocre, et leurs images objectives se forment dans des plans normaux à l’axe et dont les abscisses sont des fonctions de leurs distances, d’après les relations ci-dessus.

Micromètre. — Dans le plan focal du milieu-image de lPobjectif de la lunette telle que Pemploient les astronomes, se trouvent deux fils mobiles dont le point d’intersection peut être amené en coincidence avec l’image du point visé. Ces deux fils sont ordinairement perpendiculaires l’un à l’autre et se déplacent parallèlement à eux-mêmes : leurs déplacements sont mesurés au moyen de deux vis mirométriques. L'ensemble de ces organes constitue un nicromètre rectangulaire complet, permettant la mesure

des coordonnées rectangulaires de lPimage par rapport à une configuration déterminée de ensemble des fils mobiles. Le micromètre peut ne comporter qu'un fil se déplaçant parallèlement à lui même, et actionné par une vis micrométrique : cet appareil ne mesure alors qu'une des coordonnées rectangulaires de Pimage. Parfois l’un des fils passe constamment par un point fixe du plan focal, et se déplace dans ce plan par lintermédiure d’un tambour dont les déplacements angulaires se lisent sur un cercle gradué ; perpendiculairement à ce fil se meut un second fil dont les déplacements sont mesurés au moyen d’une vis micrométrique : l’ensemble de ces organes constitue un micromèlre polaire, propre à la mesure des coordonnées polaires de Pimage par rapport à une position déterminée du fil tournant.

Oculaire. — L’oculaire est un système optique déformable, ou mobile parallèlement à son axe, agencé de manière que, dans le système qu'il forme avec l’œil de l'observateur, le plan correspondant à la rétine puisse, pour toute conformation de l'œil, venir en coïncidence avec le plan transversal de l’image objective : cette modification de loculaire constitue la mise au point de celui-ci. Dans les instruments astronomiques, oculaire peut généralement subir un mouvement transversal de translation, de façon que l’image objective observée appartienne à peu près à son axe, le long duquel se réduisent à leur rinimum les effets des 1imperfections inhérentes aux systèmes opliques.

Ligne de visée. — La ligne de visée d’une lunette astronomique dont les fils réticulaires passent par l’image objective du point observé est la droite du milieu-objet déterminée par ce point et par le foyer antérieur de lobjectif : la ligne de visée a pour image objective la parallèle à laxe du système passant par le point d’intersection des fils réticulaires. En particulier, la ligne de visée principale est celle dont l’image passe par le point d’intersection des fils réticulaires lorsque ceux-ci constituent les axes de repère du plan réticulaire.

Lorsque la lunette n’est destinée qu’à lobservation de points extrêmement éloignés, comme lorsqu'elle est employée par les

astronomes (et non par les topographes), 1l suffit de définir la ligne de visée, pour une configuration donnée des fils réticulaires, comme une droite déterminée par la direction correspondante du milieu-objet et un point arbitraire solidaire de l’instrument.

Rapportons la lunette à un système d’axes rectangulaires dont l’axe des + appartient à la ligne de visée principale, et rapportons le plan réticulaire à des axes (&, n).

La ligne de visée correspondant au point (&, n) du plan réticulaire a pour équations :

y=PG—f) 2=0Grh),

où f est l’abscisse du foyer antérieur, et P, Q des fonctions des coordonnées £&, net des constantes de la transformation.

L'expérience (ou une théorie plus détaillée) montre qu’on peut, sans erreur appréciable, remplacer les fonctions P, Q de (&, n) par leurs développements en séries suivant les puissances de ces variables limités à leurs termes du premier degré :

P= P,+ PE + PM, Q = Qo + QE + Q"n.

Mais les axes réticulaires sont ordinairement définis de mamière que la ligne de visée principale ( = 0, n = Ü) se confonde avec l'axe de l'objectif d'où PB =0 0 0: |

pætadoun, Q = QE + On;

et les équations de la ligne de visée (Æ, n) sont

DCR ESPN ENS) (QE 0) 70):

Les coetlicients réticulaires P', P”, Q', Q"se déterminent expérimentalement.

PROBLÈME. — On connaît les constantes instrumentales P', P", (", Q", f; au point réliculaire (E, n}, dont les coordonnées sont con-

nues par les lectures au micromètre, on observe l’image objeclive d'un point dont la distance à l’origine des coordonnées est connue et égale à p. On demande les deux autres coordonnées polaires (a, d) de ce point.

Écrivons que les équations de la ligne de visée sont satisfaites par les coordonnées

p COS à COS à, p sin & COS à, p sin à du point observé :

sin à cos d — (P'E + P'n) (cos œ COS À — L)

sin d — ((Q'E + (Jn) Fes œ COS à — L),

Ges deux équations en à, à résolvent le problème proposé. On y voit que les mesures des angles a, à sont des quantités petites comme celles dont on a négligé les carrés et produits dans les développements des fonctions P, Q.

Dans les observations astronomiques, le rapport (f : p) est assimilable à zéro ; moyennant cette simplification, et à l’approximation actuelle,

a —= PE + P'n, d = ('E + Q'n.

Instruments binaires. — Un instrument binaire est ce que devient un instrument primaire quand il est rendu susceptible de prendre un mouvement de rotation autour d’une droite. Celle-ci est l’axe de l'instrument binaire.

Cercle gradué. — Un instrument binaire complet porte un cercle théoriquement situé dans un plan perpendiculaire à l’axe de l'instrument, centré sur cet axe, organisé et gradué dans le but de mesurer les déplacements angulaires de l'instrument primaire . autour de cet axe.

La graduation et la chiffraison de ce cercle, la précision de ses ‘lectures renforcée au moyen de verniers el de microscopes, les erreurs inhérentes à sa construction et à son usage, et la manière

de corriger ces erreurs seront étudiées dans d’autres cours. Disons seulement ici que la principale de ces erreurs est lerreur. d’excentricilé due à ce que le graveur de la graduation n’a pas pu faire coincider parfaitement le centre du cercle et le centre de la machine à diviser. On démontre que, si erreur d’excentricité était la seule erreur du cercle gradué, une lecture supplémentaire, faite en un point diamétralement opposé à celui où se fait la lecture principale, suffirait à faire disparaitre les termes prineipaux de son influence. ;

C'est pour ce motif, et pour des motifs analogues, que leslectures sur les cercles gradués des instruments astronomiques se font en plusieurs points diamétralement opposés deux à deux.

Hypothèses simplificatrices. — Dans l'étude actuelle, toute provisoire, des instruments visuels, nous supposerons nulles les inévitables erreurs instrumentales : nous raisonnerons comme si le constructeur avait pu réaliser parfaitement son projet. En particulier, dans l’étude des instruments binaires, nous introduirons les hypothèses simplificatrices suivantes :

1° La ligne de visée principale rencontre constamment l'axe de rotation de l’instrument, et ceci en un point fixe également distant des points qui déterminent matériellement cet axe de rotation :

®% La ligne de visée principale est perpendiculaire à l’axe de rotation (ce que les praticiens exprimeraient en disant que la collimation est nulle).

Axes primaires. — Les axes primaires sont des axes rectangulaires auxquels nous rapportons la partie mobile de l'instrument binaire. Le point invariable défini par la première hypothèse. ci-dessus est adopté pour origine O de ce système d’axes. La ligne de visée principale, dirigée de manière à faire un petit angle avec la direction du point observé, est l’axe primaire des x, ou axe des x,. L’axe primaire des z, ou axe des z,, est l’une des deux directions de l’axe de rotation, perpendiculaire à l’axe des x, par hypothèse. Le choix de cette direction et le sens du système complétent la définition de celui-c1.

Axes binaires. — Les axes binaires sont ceux auxquels nous rapportons la partie fixe de l’instrument binaire. Leur origine est encore le point O (fig. 3) ; leur axe des z, ou axe des z,, est Paxe de rotation, et dirigé de manière à se confondre avec l’axe des 2, ; leurs axes des x et des y, ou axes des x, et des y,, sont les positions de l’axe des x, lorsque les lectures sur le cercle gradué sont respectivement zéro et (+ 1 droit) ; ainsi, pour toute configuration de l'instrument, la lecture ! sur le cercle gradué est égale à l’angle de position de la droite Ox, par rapport aux axes binaires.

FiG. 3. Instrument binaire.

PROBLÈME. — Après une observation astronomique au moyen d'un instrument binaire, on donne : 1° Les coefficients réticularres P', P”,Q, Q"; 2° /a lecture | sur le cercle gradué ; # Les coordonnées réliculaires (&, n) de l’image objective du point observé. On demande les deux coordonnées poluires (a,, d,) du point observé par rapport aux axes binaires.

Nous savons que les coordonnées de ce point, dans le système primaire, sont

CARRE NUE D DES Obr);

42 PRÉLIMINAIRES Or les deux systèmes, primaire et binaire, ont même axe des z, et leurs autres axes diffèrent d’un angle / ; donc

o, = L + P'E + P'n, d, — QE + Q'n.

Instruments ternaires. — Un instrument ternaire est ce que devient un instrument binaire quand il est rendu susceptible de tourner autour d’une seconde droite. Celle-ci est l’axe ternaire de l’instrument. Dans les instruments astronomiques et topographiques usuels, l’axe ternaire et l’axe binaire sont théoriquement perpendiculaires.

Outre le cercle gradué propre à linstrument binaire qui le constitue, un instrument ternaire complet porte un cercle théoriquement situé dans un plan perpendiculaire à l'axe ternaire, centré sur cet axe, organisé el gradué dans le but de mesurer les déplacements angulaires de linstrument binaire autour de cet axe.

Hypothèses simplificatrices. — Dans l’étude des instruments ternaires, nous introduirons les hypothèses simplificatrices suivantes :

1° Le constructeur a pu réaliser parfaitement son intention de rendre perpendiculaires les deux axes de rotation ;

2% Ces deux axes passent par un même point, et leur point d’intersection est, par rapport à linstrument binaire, l’origine commune aux divers systèmes de coordonnées définis ci-dessus.

Axes binaires. — Les axes binaires sont ceux auxquels nous rapportons la partie de linstrument constituant un instrument binaire. Nous adoptons comme tels les axes binaires définis dans la théorie des instruments binaires. Soit @ l’angle de position, dans ce système, de l’une des deux directions de l’axe ternaire de rotation.

Axes lernaires. — Les axes ternaires sont ceux auxquels nous rapportons la partie fixe de l’instrument (fig. 4). Leur origine peut, par hypothèse, se confondre avec l’origine des axes binaires. Nous

prenons pour axe ternaire des 2, ou axe des z,, l’axe de rotation

ternaire de l'instrument, dans la direction dont l’angle de position , 9

binaire a été noté ® ; et nous adoptons pour axes ternaires des x et

F1G. 4. Instrument ternaire.

des y, ou axes des x, et des y,, les positions de la direction 0x, , Æ T

dont les coordonnées polaires binaires sont ( — 5) etO, respec- /

tivement telles que le cercle ternaire, théoriquement centré sur 02,, marque 0 et (+ 1 droit) : ainsi la lecture L sur ce cercle est constamment l’angle de position de cette direction Oz’, dans le système ternaire.

PROBLÈME. — Après une observation astronomique au moyen d'un instrument ternaire, on connaît : 1° Les constantes instrumentales P', P", Q', Q", @; ? les coordonnées réticulaires (, n) de l’image objective du point observé ; 8° les lectures 1 et L respectivement sur le cercle gradué binaire et sur le cercle gradué ternaire.

On demande les coordonnées polaires (a, d.) du point observé par rapport aux axes lernaires.

La résolution de ce problème consiste dans le passage des coordonnées primaires aux coordonnées binaires, puis de celles-ci aux

coordonnées ternaires. La première partie de cette transformation a été faite dans Pétude des instruments binaires et a donné

GT PAPER MP d, — Q'E + Q'n.

Pour effectuer la deuxième partie de cette transformation, formons le système Ox',y',2,, dont l’axe Ox', a été défini, dont l’axe O2’, se confond avec l’axe des 2,, et dont le sens est celui des axes binaires. Nous aurons, pour passer du système Ox,y,2, au système OZ, y2%, puis de celui-ci au système Ox,y,2,, les équations

L'y—= 4%, SIN P — Y, COS P,

; Y > — 9 COS P + Y, Sin P, !

x, = 4%’, COS L — 2’, sin L, TA EEE TEEN, 23 — Yo puis, par élimination de x ,, y, 22, L —= (X, Sin P — y, cos p) cos L — z, sm L; Ya = (TX, Sin P — Y, cos p) sin L + z, cos E, 2, =, COS P + Y: Sin OP.

En coordonnées polaires, quelle que soit la distance du point observé,

COS 04 COS 0, —="SIn .p COS 0, C0S 03 €05 — COS p sin à, cos à, cos L — sin à, sin L,

SIT 0, /C0$ 051== Sin, P\ COS COS 10 COS — cos p sin à, cos à, sin L + sin à, cos L,

Sin 0, — COS COS 0, cos 0. "Sin D SITE COS RO 3 2 2 P2 2

Limitons à leurs termes petits de l’ordre de (P'E + Pn)et de (Q'E + Qn) les développements des fonctions de a, et de à,. La