HE H
Ho 9
Les nuits peuvent être trop courtes pour que cette méthode soit applicable avec une lunette ordinaire ; on appliquera alors la méthode générale.
Les problèmes ci-dessous auraient pu se proposer à la suite du numéro relatif au mouvement diurne ; on les a retardés jusqu'ici pour profiter des simplifications introduites par le choix de
l’origine des azimuts :
Nous noterons @ la hauteur de l’axe du monde. L’équation. du cône diurne d’une étoile dont la demi-ouverture est V se réduit ainsi à
cos @ cos À + cos p tg H — cos V séc H.
PROBLÈME 1. — Pour une hauteur p de l’axe du monde, et une demi-ouverture V, quelle est la hauteur de l'étoile lorsque son azimut est À ?
On tire H de l’équation ci-dessus.
Application numérique. — Par quelle hauteur H l’étoile (Aldébaran) pour laquelle Va==179099101
traverse-t-elle le vertical À — 35, pour un point terrestre (Louvain) où p — 90051 491?
L’équation du problème résulte de l’élimination de l’inconnue auxiliaire M
entre les deux équations
cos V cos M
tg M = cotg o cos À, sin (H + M) — ve
(ou deux équations analogues) qui se prêtent au calcul logarithmique.
log cotg @ — 1. 910 224 log cos V = 1. 449 420 log cos À — 1. 913 365 log cos M — 1. 920 248 log tg M — 1. 893 589 colog sin p = 0. 110 234 M = 33 40' 14 log sin (H + M) — 1. 479 902 H + M= 17° 34' 24" ou 180° — 17° 34! 24"
H = — 16° 5' 50" ou 1280 4522/,
L'étoile considérée traverse le demi-vertical À — 35° sous l’horizon. La seconde solution signifie que l'étoile traverse le demi-vertical opposé à A = 35°
par une hauteur de 1804979 SMS ULR 519121608'E
En particulier : a) À quelle hauteur l'étoile traverse-t-elle le méridien du lieu ?
Dans ce plan À = 0, à condition de compter les hauteurs à parür du nord de la méridienne (nous pourrions aussi bien dire
— 1, en comptant les hauteurs à partir du sud de la méridienne) :
cos ® + sin @ tg H — cos V séc H, d’où cos (®— H) — cos V et 2 |
ce sont les hauteurs maximum et minimum de létoile.
b) A quelle hauteur l'étoile traverse-t-elle Le premier vertical ? Dans ce plan cos A—0 et
discutant ce résultat, on voit dans quelles conditions le phénomène se réalise 0, 1 ou 2 fois par jour sidéral ; dans le cas d’un passage, H — + 90°; dans le cas de deux passages, les deux hauteurs, mesurées à partir d’un même point cardinal, sont supplémentaires. |
PROBLÈME 11. — Pour une hauteur @® de l'axe du monde, et une demi-ouverture V, quel est l’azimut de l’éloile lorsque sa hauteur est H ?
On tire À de l’équation du cône diurne ; on obtient, par un cosinus, deux valeurs symétriques de A :
CDS COS ne EE (DILONELE
les phénomènes proposés s’accomplissent (lorsque A est réel) dans des verticaux symétriques par rapport au méridien, — ce qui était évident.
Application numérique. — Par quel azimut Aldébaran (V — 73° 39! 9") atteint-il à Louvain (@ — 50° 52' 49") une hauteur H — 48°? (1)
colog cos @ — 0. 200 010 log tg @ — 0. 089 766 colog cos H — (. 174 489 JosteH= 0.045 565 log cos V — 1.449 490 log m = 0. 135 329 log n — T. 823 919 log (1 — À) =T: 709 108
colog m — 1. 864 671 log (m — n) = 1. 844 437
pre log = — 1: 688 590
En particulier, quels sont les azimuts du lever et du coucher de l'étoile ?
À ces instants H — 0, ct
cos V COS
CO
Discutant ce résultat, on voit à quelle condition létoile est circompolaire (visible ou invisible), et à quelle condition le lever et le coucher sont confondus (nécessairement sur la méridienne).
(1) Pour éviter la nécessité de rendre monômes les formules trigonométriques, nous ferons usage des logarithmes d’addition et de soustraction. Ces fonctions permettent le calcul de log (m + n) et de log (m — n), où m est plus grand que n, au moyen de log m et de log n Les tables qui les expriment donnent log (1 + x) et log (1 — x) en fonction de log x. Le calcul se dispose
5 | n . j done de la manière suivante, es jouant le rôle de x :
log (m + n) = log m + log (1 + 2),
n log tn log n + colog m
log (in — n) = log m + los (1 æ 2
62 COORDONNÉES HORIZONTALES Par exemple, calcul des azimuts du lever et du coucher d’Aldébaran (V = 739399") à Louvain (® — 50°52'49") :
log cos V — 1. 449 490 colog cos — 0. 200 010 log cos À — 1.649 430 A = + 63°30'23"
PROBLÈME 11. — Si to est l'indication d’une horloge à l’instant du passage d’une étoile dans Le méridien supérieur, (to + 5) l’indication de La même horloge un jour sidéral plus tard, et N la demiouverture du cône diurne de celte éloile, quelles sont les coordonnées polaires horizontales de celle-ci à l'instant t?
À l'instant 4, la normale au plan de l’axe du monde et de l'étoile est l’axe Ÿ. L’angle P, fonction uniforme du temps,
Lt DEC ; P — 97 "© rad. — 360 —— degrés, $ S se réduit donc à l’angle que fait, à l’instant {, axe Ÿ avec la nor-
male au plan de l’axe du monde et de Pétoile. Si (&, b, c) sont les cosinus directeurs de la normale à ce plan,
As eOS 0 —P.
Les coefficients de équation a cos À + b sin A+cte H—( de ce plan satisfont donc aux conditions DECO RS a + cig p— 0, + b+c—=1, et cette équation peut s’écrire, après choix d’un signe, sin @ Cos À + cotg P sin À — cos @ tg H — 0.
D'autre part, À et H sont liés par l'équation du cône diurne de
l'étoile :
cos @ cos À + sin p tg H — cos V séc H.
Les coordonnées de l’intersection de ce plan et de ce cône pourraient se déduire des formules établies dans les Préliminaires. Pour éviter d’y remonter, ou de les rétablir, on éliminera A entre les deux équations, pour obtenir
sin H — sin @ cos V + cos @ sin V cos P, (1) puis H, pour obtenir
sin @ cotg P. (2)
cotg À = + cotg V ee £
sin P
Le choix du signe se fait sans difficulté, en examinant comment H varie avec P, et comment A varie avec V.
À qui trouverait cette résolution pénible on pourrait indiquer V’artifice suivant : effectuer le changement de coordonnées qui, conservant l’axe Ÿ et le sens du système, amène l’axe Z dans la direction nord de l’axe du monde, de manière que les ccordonnées courantes soient (180° — P) et (90° — V) ; calculer H comme complément de la distance de létoile à la direction zénithale, dont les coordonnées nouvelles sont 0 et (90° + ); d’autre part, A est Pangle que fait avec l’axe Ÿ la normale au vertical de létoile, dont les paramètres directeurs sont les déterminants tirés du
tableau
| 1 0 — cotg p — cos P sin P cotg V
Application numérique. — L'horloge est réglée de façon que $s — 23h56m45,09 := 86 1645,09 ; on demande les coordonnées horizontales d’Aldeébaran (NV — 73°39'9") à Louvain (@ = 50°52'49"), à l'instant où & — Lo = 5h30m — 19 800$.
log 360 — 2. 556 303 log (t — to) — 4. 296 665 colog s — 5. 064 674 OS BUS OT C2 NP = 8964518926
Calcul de P.
Calcul de H {sin H — on + n, signe + car P et H varient en sens contraires). log sin æ — 1. 889 766 log cos = 1. 799 990 log cos V — 1. 449 420 log sin V — 1. 982 078 log m — 1. 339 186 log cos P — 1.102 483 log n — 2. 884 551 colog m — 0. 660 814 Log n — 2. 884 551 log = — 1. 545 365 log m — 1. 339 186 og (1 + 2) = 0.190667
log (m + n) = 1.469 853 — log sin H
H=M4 709991 Calcul de A (cotg À = + m — n, signe + car V et A varient dans le même sens).
log cos p = 1. 799 990 log sin @ = 1. 889 766 colog sin P = 0. 003 509 colog tg P = 1.105 993 colog tg V = 1. 467 343 log n — 2. 995 759
log m — 1. 270 842 colog m —= 0. 729 158
log n — 2. 995 759
log m — À. 270 842
n — EE (: * 2) = T. 910 319 nm Sera
log (m — n) = 1. 181 161 — log cotg A AS 1022440
PROBLÈME IV. — S2 to est l'indication d'une horloge à l’instant du passage d'une éloile dans le méridien supérieur, (to + s) Pindication de la même horloge un jour sidéral plus tard, et N la demiouverture du cône diurne de l'étoile, quelle est l’indication t de l'horloge à l'instant où l’une des coordonnées horizontales de l'étoile a telle valeur donnée ?
Suivant que l’on donne la hauteur H ou l’azimut A, on tirera P de la formule (1) ou (2) ci-dessus (p. 63). Puis
Ps P (= bot SG — ks ou FA + ks,
suivant que P a été exprimé en radians ou en degrés, et k étant un entier quelconque, positif, nul ou négatif,
Application numérique [. — Quelle est, à Louvain (@ — 50°52'49), la variation de l'indication de l'horloge pour laquelle
s == 23h56mMm4s,09 — 86 164,09 de linstant où la hauteur d’Aldeébaran (NV = 73399") est maximum, à celui où
cette hauteur est égale à 44020" ?
sin H cos æ Sin V
colog cos ® = 0. 200 010 log tg æ — 0. 089 766
cos P=— te o cotg V
colog sin V — 0. 017 922 log cotg V — 1. 467 949 log sin H — 1. 844 372 log n — 1. 557 109 log m = 0. 062 304
colog m = 1. 937 696 log m — 0. 062 304
log n = T. 557109 log(1— ©). T. 837 204
log = — À. 494 805 log (m — n) — 1. 899 598
0128000 et 119220319211!
t— to — 2h29m305,04 et 21h26M34s,05.
Application numérique II. — Quelle est, à Louvain (® = 50°52'49"), la variation de l'indication de l'horloge pour laquelle . s = 23h56m45,09 — 86 164,09 de Pinstant où l’azimut d’Aldébaran (NV = 739°39'9") est égal à 180°, à celui où cet azimut est égal à 125°12' ?
L’équation
cos 8 otg À = cotg V ——" — otg P cotg À = cotg pu à sin @ Cotg
résulte de l’élimination de M entre, par exemple, cos @ tg À cos M
tg M — sin p tg A el sin (P + M) —
te V [log sin æ = 1. 889 766 log cos p — 1. 799 990 log tg (180 — A) = 0. 151 551 log tg (1800 — A) = 0. 151 551 log tg (180° — M) -— 0. O41 317 log cote V = 1. 467 343 MMS 210002 log cos (180° — M) — 1. 869 155
log sin (P +- M) = 1. 288 039 P +- M — 16824827" PES 001 Lt — Lo = 2h 25m495,80.
En particulier, quels sont les instants t du lever et du coucher de l’étoile ?
Ici = 0er RU Le Or
Par exemple, pour l'horloge, l'étoile et le lieu terrestre des applications numériques précédentes :
log tg ® —= 0. 089 766
log cotg V = 1. 467 343 log cos P = 1. 557 109 P = 68°51'31,37 et 291°8/28",63 Lt — lo — 4h34m41S,00 et 19h21m935,09.
