EN) VAE SR DRE SSL

NT

Ces égalités sont les équations paramétriques de l’ellipsoide de révolution, avec (À, @) pour coordonnées curvilignes.

UE

PROBLÈME 11. — On donne : 1° les éléments, a el €, de l’ellipsoide terrestre ; ® la longitude X, la latitude géographique ® et l'altitude h d'un point de l’espace. — On demande Les coordonnées rectangulaires (x, Y, z) de ce point.

Nous connaissons les coordonnées de la projection orthogonale de ce point sur le géoïde. Il faut y ajouter les composantes

h cos À cos @, h sin À cos @, h sin p

LE GÉOIDE ELLIPSOIDAL DE RÉVOLUTION 101

de lPalütude suivant les trois axes :

—| É +h) co OS À COS ®,

VE no

y—{ = = | + h) sin À cos P, VE

TUE) ES 2 hr rSin@.

vi — € sin” p d / be

Telles sont les équations paramétriques, en (X, @), d’une surface lieu des points équidistants du géoïde.

PROBLÈME 11. — On donne les éléments (a, €) de l’ellipsoide terrestre, et une latitude géographique ®. — On demande les coordonnées polaires, p (rayon vecteur) et L (latitude géocentrique) d'un point dont la latitude est @, et l'angle à la verticale en un

pareil point.

La solution est fournie par les égalités Va Ey—pcosL, z—psinL,

d’où, au moyen des résultats du problème 1 ci-dessus,

VESTE SRE ) sin” p p —= À — €? sin° p

tang L— (1 — €) tang ®.

L’angle à la verticale est (® — L) et sin (® — L) — € sin p cos L ; après y avoir exprimé cos L au moyen de p,

€? sin @ COS P VA Or ini

sin (® — L) —

et (® — L) a le signe de œ.

Développements en série. — ()}u’on ait pu d’abord admettre la sphéricité du géoïde témoigne de la petitesse de lexcentricité du géoide ellipsoïdal. Nous verrons bientôt que € est moindre que 0,08. Or les diverses quantités calculées ci-dessus sont fonctions de €, moindre que 0,0064. En les développant en séries suivant les puissances croissantes de €?, on arrive bientôt à des termes d’extrème petitesse, et négligeables.

Pour fixer les idées, supposons déjà négligeables les termes en €“, quantité moindre que 0,000041.

Dans ces conditions, sin (® — L) se réduit à Jin 2. L’angle à la verticale passe par sa valeur absolue maximum pour des latitudes géographiques très proches de + 45, et cette valeur absolue est égale à € : 2.

Coordonnées horizontales et coordonnées terrestres. — PROBLÈME IV. — On donne : 1° les coordonnées géographiques (55 Pos D) d’un point terrestre S ; ? les coordonnées rectilignes (Xn, Yn, Zn) d’un point quelconque M par rapport à un système de coordonnées horizontales ayant le point S pour origine ; 3° les éléments (a, €) du géoide ellipsoidal.

On demande les coordonnées rectilignes terrestres (xt, Yi, Z) du point M.

Les coordonnées polaires des axes X4, Y», 22 du système horizontal dans le système terrestre OX,Y,7; sont :

AXO RE SIN ÈDE axe Xn ..…. À, 90° + o; axe. +900 d’où leurs cosinus directeurs. De plus, les formules obtenues au

problème 11 ci-dessus fournissent les coordonnées rectilignes terrestres de l’origine S des coordonnées horizontales. Ainsi

[02 a h 2 ) COS À COS ® — Æn COS À SIN D — V»SHM (A — €? sin? p Ho Le ÿ PTE

DIMENSIONS DE GÉOIDE ELLIPSOIDAL DE RÉVOLUTION 103 fl (22 : : :

L— —. + h + 7) Sin À COS ® — æn Sin À Sin P + y» COS À, V1 — € sin’ p

E- EEE) % & Ein oo

+ h + 7) SIN P + Th COS P.