Formules fondamentales
L'Astronomie pratique a pour objet principal la détermination des positions géographiques et des gisements relatifs des points terrestres. Les moyens d'observation dont elle dispose reviennent en dernière analyse à déterminer les coordonnées angulaires d’astres par rapport à certains plans, notamment par rapport à l’horizon et au méridien du lieu d'observation. Leurs coordonnées sont supposées connues par rapport aux plans fondamentaux : équateur céleste et méridien du point vernal ; le problème revient donc à passer d’un système de coordonnées à un autre,
Transformation des coordonnées sans changement d’origine. — Les formules de transformation sont les formules fondamentales de la Trigonométrie sphérique.
Considérons d'abord deux systèmes d'axes rectangulaires dans
un plan (fig. 1). Soit OM—1;ona
DECOS 0, DÉICOS PE p—=9" + 0e,
3 Int. 2 —sint sans aucune restriction de grandeur ni de signe. On en tire T—LICOSC- £SIMC, D LISINC +3 COSC.
Considérons maintenant un axe des y perpendiculaire à ce plan (fig. 2) et coupons tout le système par une sphère de rayon égal
Fig. x Rig Z A FA) B Z' | Li En Se | RE AS c | PA | al X | SC Not \ / v! Eat :
\ | 7 VPN 4 | A A \ nn” airs -— — 27 NÉE rs 0 \ (D *
à l'unité, On écrit immédiatement les coordonnées du point C, B étant l'angle extérieur au triangle ABC
Li SIN ACOS ED æ'—sinbcosÀ, y =sinasinmB, y" = sinbsinA, ZE 0080, SU FCO
æ et 3 se transformeront d'après les formules données pour le plan, ety — y ; on en tire ainsi
sin a cos B — sin b cose cos À — cosb sine, : sinasinB —sinbsinA,
cos a — sin b sin c cos À + cos b cosc.
Si l’on remplace B par 180 — B,, les angles À et B, sont les angles du triangle sphérique et les formules deviennent
(1) sina cos B, — cos b since + sin b cosc cos A, (2) sinasinB, —sinbsinA,
(3) cos a — cos b cosc + sin b sine cos À
Par des permutations de lettres, on déduit de la première cinq équations de même forme, et deux de chacune des dernières.
Ces relations fondamentales sont générales quant aux signes et aux grandeurs des angles : elles ne sont pas distinctes, car en les élevant au carré et additionnant on trouve l'identité 1 — 1.
En divisant (1) par (2) on a la formule dite des cotangentes. Les formules de Delambre et de Néper se déduisent algébriquement des précédentes. On en tire aussi des formules dans lesquelles les angles remplacent les côtés et réciproquement : ces dernières peuvent se conclure sans calcul de la considération du triangle supplémentaire.
Rappelons seulement les formules principales relatives aux tmiangles sphériques.
Formule des cotangentes.
Cotang a sin b — cos b cosc + sinc cotang A,
et cinq autres semblables par permutalion de lettres.
Formules de Delambre.
sin +(A+B) Se ÉnLTe )e
cos + C cos C sin ? (A — B) Sin (4 1) TEE RONA T À D SR DU UE cosiC sin 1 C
cost(A+B) cosl(a+b)
sin iC = too À
cos L(A —B) sin !(a+b) = — RE ) sin +C since
On en déduit par simple division les analogie: de Néper :
cosi(A—B)
o 1 — lie 2 tangi(a + b)—tangic IVe) AA re ne tang (a Pre gr ARE, AN Le EPA LEE, tang (A + B) — cotgiC FR UPTEO) ; Sins (de 0)
“sini(a + A
Enfin les formules appelées quelquefois formules de Borda :
sin(S — b)sin(S — c}
EU UE sir A sin D sin c voa = Sin — 0) 1 sin b sin c Lane A 2 (SEM EmS 0) For sinS sin(S — &)
dans lesquelles 2S—=4a+b Etc.
