Formules calculables par logarithmes

Les calculs trigonométriques se font généralement par logarithmes. Quand on a une formule binome à calculer, on peut passer des logarithmes aux nombres et faire la somme de ceux-ci : mais dans la plupart des cas ce n’est pas cette somme même, mais son logarithme dont on a besoin. Il est donc plus commode, dans bien des circonstances, de s’épargner cette recherche intermédiaire.

Le meilleur moyen d’y parvenir consiste dans l'emploi des logarithmes d'addition et de soustraction. Nous ne possédons malheureusement en France-de Tables de ce genre qu'avec cinq décimales (t). Quand on a besoin de sept décimales on doit recourir aux Tables allemandes du D'° Witistein (Hanovre, 1866).

Soit à calculer & par la formule

cos a = cos b cos c + sin b sinc cos A.

: sin b sinc cos À On calcule le logarithme de =, les Tables donnent cos b cosc

sin à since cos À

alors celui de 1 +

> et, en l’ajoutant à celui de cosb cos b cosc x

cosc, on trouve le logarithme de cos a.

À défaut de ces Tables qui fournissent incontestablement la solu-

(*) Houez. Tables de Logarithmes à cinq décimales. Paris, Gauthier-Villars; 1887. — Houez, Recueil de formules et de Tables numériques. Gauthier-Villars;

Ces logarithmes, dont l’idée première est due à Leonelli, sont quelquefois connus sous le nom de Logarithmes de Gauss qui le premier en a publié des Tables.

on la plus rapide du problème, on doit recourir à l'emploi d’un angle auxiliaire.

Dans la formule fondamentale, on a toujours dans le binome le sinus et le cosinus d’un même angle : on prendra respectivement pour cosinus et sinus de l’angle auxiliaire les coefficients de ces quantités. À

Soit, par exemple, la même formule que ci-dessus; on pose

(4) cos b — m sine, sin d Cos À — m cosy

et on trouve:

cosa — msin(y +cC).

Le système d'équations (4) se résout en calculant

ne — cotangb cos À L’angle g << 180° étant déterminé en grandeur et en signe, on connaîtra le signe de sino et de cos® et on calculera m avec vérification par __cosb sinbcosA rrs cos ? Ë

On peut procéder autrement. Soit à calculer æ + y; on pose

y +ye(i+t).

Si > 0, on peut poser

2 = tag}, Le d’où L'+ = ——— ° s cos?

S; 2 : x k 1—< 0, on pourra encore poser ve d 2 ue anct L g+ et on aura cos 2 d 19 SE PERRET

cos?d