Formules différentielles

D'après la définition des différentielles et des dérivées, on peut traiter comme différentielle un accroissement quelconque de la fonction, pourvu qu'il soit permis de négliger la différentielle d'ordre supérieur, ou pratiquement les différences secondes. Cette substitution est permise dans des limites parfois assez étendues quand il s’agit de calculs numériques. La simplification qui en découle tient à la substitution de relations linéaires à des équations souvent très compliquées. On y a fréquemment recours, à charge seulement de s'assurer dans chaque cas particulier que l’on reste bien dans la donnée de l’hypothèse, c’est-à-dire que l’omission des différences secondes n’affecte pas le résultat.

Quand on veut se rendre compte de l’approximation d’un résultat, on considère les erreurs comme des différentielles. Les formules qui suivent sont donc très utiles dans ce cas.

Si on différentie l'équation (3), en ayant égard à (1) et (2), on trouve

(5) da = cos C db + cosB de + since sinB GA.

Différentions (2) logarithmiquement :

(6) cota da + cotB dB — cotb db + cot À dA.

On trouve encore (7) sin a dB — sinC db — cosa sin B de — sin b cosC dA, (8) dAÂ = — cosc dB — cos b dC + sin b sin C da.

Ce sont les principales relations dont nous aurons à faire usage.